固-Ch2 晶体衍射和倒格子-20120223.pdf

福州大学《固体物理及半导体物理》(01100847)讲义2011-2012学年下学期

第2章晶体衍射和倒格子

1X射线衍射

X射线的波长：0.01—100nm，即0.1—1000埃。用于测定晶体结构的X射线的波长：
0.05—0.25nm，即0.5—2.5埃。用X光管在高压下加速电子，冲击钼靶或铜靶产生X射
线，用金属滤片或单色器——单色化。

衍射要素：衍射方向，衍射强度
晶胞要素：形状、大小，原子在晶胞中的位置

2倒格子

倒格子的定义
aaaaaa
根据基矢定义三个新的矢量23，31，12，
b12b22b32
a1a2a3a1a2a3a1a2a3

以b1，b2，b3为基矢，可以构成一个倒格子。

倒格矢的定义

倒格子每个格点的位置为Ghklhb1kb2lb3——倒格子矢量，即倒格矢。

倒格矢与正格子的基矢满足aibj2ij,i,j1,2,3,

倒格子和正格子的关系

倒格子原胞体积反比于正格子——*38。

晶面距

G为晶面(h1h2h3)的法线方向。
h1h2h3
2
晶面距可以写作d。
G
h1h2h3

倒格子的画法

1.原点O引晶面簇ABC的法线ON，在法线上截取一段OP=ρ，使ρd=2π；d是晶面簇
ABC的面间距。
2.对于每一簇晶面都有一点P，以OP为该方向的周期，把P平移，得出一个新点阵。
这个点阵就是原来晶格的倒格子，而原来的晶格称为正格子。

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3.令正格子的基矢为a1，a2，a3；正格子的坐标面为aa12，aa23，aa31面间距分别为d1，

d2，d3。

倒格子的基矢

2aa232aa312aa12
倒格子的基矢为b12，b22，b32。
d1d2d3
晶格中的晶面转化为一个倒格矢，这在处理晶格的问题上有很大的意义。

3布拉格条件

直线点阵衍射——劳厄方程
一维直线点阵a，入射X光单位矢量为k，衍射单位矢量为k，两相邻散射线发生增强干
涉现象的条件为光程差是波长的整数倍，即APOBn，此式为劳厄(Laue)方程。
其中Δ为光程差，n为衍射级数，其值为0，±1，±2，…

平面点阵的衍射——布拉格方程
空间点阵可以分解成一组组平面点阵，且间距相等。

N和N+1层的光程差为MOPO2dsinn,n0,1,2,，此式为布拉
格方程，或布拉格定律。式中d为晶面间距，θ为布拉格角(或衍射角)，n为衍射级数。
布拉格定律成立条件为2d。

三维布拉格方程
2
可写作kG，或2kGG。

2
由和，可得2kGkGcosGksinG，即
2
22
kGsin，又有k，所以有2dsinn,n0,1,2,，此式
dnhklhkl

为三维布拉格方程，其中dhkl为晶面间距，θhkl为布拉格角—衍射角，n为衍射级数。

劳厄(Laue)条件

劳厄条件又叫光栅衍射条件，决定晶体是否衍射。

劳厄条件由推导而出，即将k与G分别与a1，a2，a3取标量积，即：

a1k2v1,a2k2v2,a3k2v3,
几何诠释：将位于以为轴的某个圆锥上，还将位于以为轴的某个圆锥上，同时位
于以为轴的某个圆锥上。这就表明三个锥必截交于一条公共射线。

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厄瓦耳(Ewald)/埃瓦尔德作图法
由入射X射线矢量和倒格矢确定衍射X射线矢量的作图法。
第一步：以入射束与反射面的交点为原点，作半径为2π/的球，与衍射束交于O’。
第二步：在反射球上过O’点画晶体的倒格点；
第三步：只要倒格点落在反射球上，即可能产生衍射。
参考教材1图8。

4布里渊区

布里渊区定义
布里渊区即是倒格子空间中的维格纳-塞茨原胞。

布里渊区的意义和价值是为衍射条件提供一个生动的清晰的几何诠释。即

112
kGG
24
具体画法见教材1图9a。
第一布里渊区画法
向最邻近原点的格点画矢量再取中垂线。
第二布里渊区画法
向次邻近原点的格点画矢量再取中垂线。
第三布里渊区画法
向再次邻近原点的格点画矢量再取中垂线。
这个区域包含所有从第二布里渊区出发只跨越一条布里渊线的点。

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