运用数形结合思想解题.doc

运用数形结合思想解题

数形结合是一种重要的数学思想方法，它是事物存在的两种表现形式，一是由形思数，即将几何问题代数化；二是由数思形，即将代数问题几何化.因此，在解决数学问题时，将数（量）与图（形）结合起来，通过数的计算去寻找图形之间的联系；结合已知图形或根据条件构造图形去寻找数之间的联系.现举例说明.
一、运用数形结合思想，探索几何图形所反映的规律
例1（2006年海南省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下面方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖块，第n个图形中需要黑色瓷砖块（用含n的代数式表示）.

……

（3）
（2）
（1）

解析：通过观察知，第1个图形：有黑色瓷砖4块；第2个图形：有黑色瓷砖4＋3=7块；第3个图形：有黑色瓷砖4＋3＋3=10块.
因次，第n个图案中黑色瓷砖的块数为：4＋3（n－1）.
点评：解决此类题的关键是认真观察、分析图形，找出几何图形之间的规律.
二、运用数形结合思想，借助几何图形进行代数规律探索
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
……
例2（2005福建泉州）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（a＋b）n（n为
非负数）展开式的各项系数的规律.例如：
（a＋b）0=1，它只有一项，系数为1；
（a＋b）1=a＋b，它有两项，系数分别为1，1；
（a＋b）2=a2＋2ab＋b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a＋b）3=a2＋3a2b＋3ab2＋b2，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
……
4
6
4
1
……
根据规律，（a＋b）4展开式共有五项，系数分别为.
解析：这是著名的杨辉三角.各项系数有如下关系：
所以（a＋b）4展开式共有五项，系数分别为：1，4，6，4，1.
评注：运用数形结合思想，往往使某些抽象的代数问题变得一目了然.本题是一道经典题目，在许多练习中出现过，它利用了数学背景知识，使学生了解数学的发展历程，提高了学生的兴趣，同时又考查了学生对数字的观察总结能力，这些都是新课标理念的体现.
a
a
b
b
图a
图b

三、运用数形结合思想，借助几何图形验证数学公式
例3（2006年天门市）如下图a，边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图a的阴影部分拼成了一个矩形，如图b.这一过程可以验证（）
A．a2+b2-2ab=(a-b)2；
B．a2+b2+2ab=(a+b)2；
C．2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)；
D．a2-b2=(a+b)(a-b).
解析：如图a，阴影部分的面积为：a2－b2；
将图a阴影部分拼成一个矩形，如图b所示，则阴影部分（矩形）的面积为：(a+b)(a-b).
所以a2－b2=(a+b)(a-b).故应选D.
b
a
例4（2005年内江市）如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式.
解析：外围大正方形的面积为（a＋b）2，内部小正方形（空白部分）的面积为（a－b）2，而4个小矩形的面积之和为4ab，所以可得关系：
（a－b）2=（a＋b）2－4ab=a2＋2ab＋b2－4ab=a2－2ab＋b2.
故关于a，b的恒等式为（a－b）2=a2－2ab＋b2.
评注：借助几何图形，灵活运用数形结合思想，是验证某些数学公式或运算常用的一种方法.要学会运用数形结合思想，根据题目的要求，适时进行数与形的转化，会使得解题过程简洁明了.