发现无理数时的割补.doc

第页共NUMPAGES4页
发现无理数时的割补
----------张义
毕达哥拉斯学派是古希腊的一个重要学派，为首的就是毕达哥拉斯，毕达哥拉斯学派主要研究“四艺”：几何学，算术，天文学和音乐。毕达哥拉斯本人非常重视数学，企图用数学来解释一切。毕达哥拉斯学派有一个基本观点，叫做“万物皆数”毕达哥拉斯认为世界上只存在着整数和分数不存在其它的数，尽管他没有给出严格的证明，但是出于这个学派的威望，学派中绝大多数人把它视为真理，他们认为，正整数就是组成物质的基本粒子----原子。因此，一切量都可以用整数或者整数的比来表示，他们认为一条线段就好比一串珍珠，这串珍珠就是一个一个的点的组合，按照这种说法，两条线段长度之比，就应该是它们中包含的小珍珠的个数比，当然是可以用整数之比来表示了。可是不久就出现了一个问题：若一个正方形的边长为1，那么这个正方形的对角线的长度是多少？按照毕达哥拉斯定理，它的对角线L的平方等于两条直角边的平方和2，那么L到底是多少呢？按照上述对数的认识L一定是一个整数要么是一个分数，但是毕达哥拉斯学派费了九牛二虎之力也没有找到这样的数，这就是第一次接触到无理数。
北师大版数学八年级上第二章第一节课，同样也对无理数的产生做了一个简单的实验：有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。课本上给出的拼图方案为：

方案一：方案二：方案三：

事实上，在上述拼图中得到的等式a²=2，a既不是整数也不是分数，所以可以得到a不是有理数的结论，可以让同学们探索无理数得到的过程。毕达哥拉斯学派在2500年前认为：一切量都可以用整数或者整数的比来表示，同学在这个过程中体会到了毕达哥拉斯学派对于得到无理数的吃惊，对真理的发现者的迫害是多么的荒唐，事实上任何科学包括数学的进步有时需要血的代价。
学生们兴趣正浓，于是抛出了另外一个问题：有一个边长为1的小正方形和一个边长为2的大正方形，剪一剪，拼一拼，能否设法得到一个大正方形，使得大正方形的面积等于前两个正方形之和？拼成的大正方形的边长是有理数吗？

经过同学们的努力也有几位同学找到了答案：
方案一：

方案二：

第二个方案实际上就是赵爽弦图的构造，通过简单的割补就可以得到一个面积一样的大正方形，那么是不是所有的两个正方形（大小可以不同也可以相同）都可以拼成一个面积大小一样的正方形呢？割补如下（事实上就是勾股定理的几何拼图证明）：

结论1：上面的验证，我们可以肯定：任意两个正方形都可以经过割补得到一个面积相等的大正方形。
于是课后接着这个位问题继续延伸：
结论2：任意n多个正方形都可以经过适当的割补得到一个面积相等的大正方形，并且得到的方法不唯一。
证明：（略）
上述论证说明任意n多个正方形都可以经过适当的割补得到一个面积相等的大正方形，并且得到的方法不唯一，那么对于三个相同的正方形，经过割补得到一个面积相等的大正方形的方法有多少呢？下面对于这个问题进行了阐述：

方案一：其中图中所有的锐角为60°或者30°。

方案二：
第一步：先把两个正方形割补拼成一个面积一样的大正方形如下图。

第二步：把另外一个正方形和这个大正方形割补拼成一个面积一样的大正方形，如下图。

方案三：
第一步同方案二的第一步，先把两个正方形割补拼成一个面积一样的大正方形。
第二步如图所示：

综合上述：对于三个全等的正方形通过割补可以得到一个面积一样的大正方形，并且探求了三种方案，实际上每种方案的思想是相同的都是为了得到边长。