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微积分的创立
微积分的诞生，是全部数学史中的一个伟大的创举．追溯一下历史就可发现，早在微积分诞生之前的2000多年，就已经有了它的萌芽．比如，古代的人民用方砖砌圆，我国庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，魏晋时刘徽的“割圆术”，祖恒原理，等等，都涉及到以“直”代“曲”的极限观念，属于微积分的朴素思想．阿基米德更可称为是微积分学的先驱，他不仅成功地将“穷竭法”应用于求像抛物线弓形那样复杂的曲边形的面积中，而且在求积时应用了级数有限项之和所成序列的近似法、还首次提出了现在所谓的上积分与下积分的概念等．但是真正形成微积分思想是17世纪后半叶，牛顿—莱布尼兹总结和发展了前人的工作，几乎同时建立了微积分的方法和理论微积分的起源，主要是力学与几何两大类问题．已知变速运动的路程为时间的函数，求瞬时速度及加速度；求曲线的切线等，这类问题的数学抽象化，即微分学．已知变速运动的速度为时间的函数，求运动物体通过的路程，求曲线围成的面积等．这类问题的数学抽象化，即积分学．
牛顿和莱布尼茨用各自不同的方法，创立了微积分学。如果说牛顿接近最后的结论比莱布尼茨早一些，那么莱布尼茨发表自己的结论要早于牛顿。虽然牛顿的微积分应用远远超过莱布尼茨的工作，刺激并决定了几乎整个十八世纪分析的方向，但是莱布尼茨成功的建立起更加方便的符号体系和计算方法。两位微积分的奠基人，一位具有英国式的处事严谨，治学严谨的风度，一位具有德国人的哲理思辨心态，热情大胆。下面分别讲述两位数学家在微积分方面的研究。
英国著名数学家、物理学家牛顿(Newton，1643—1727)，一贯坚持唯物论的经验论，特别重视实验和归纳推理的他，从研究物理问题出发创立了微积分(1665—1666)，牛顿称之为“流数术理论”．他的微积分的思想最早出现在1665年5月20日的一
份手稿中提到“流数术”．这一天可以作为微积分诞生的日子，而微积分的思想公开发表于1687年他的巨著《自然哲学的数学原理》中．牛顿的“流数术”中，有三个重要的概念：流动量、流动率、瞬．牛顿的流数术以力学中的点的连续运动为原型，把随时问连续变化的量而产生的一个连续变化的变量，即以时间为独立变数的函数(生长中的量)称为流动量，流动率是流动量的变化速度，即变化率(生长率)，称为导数．所谓“瞬”这个概念，如牛顿所说是一种刚刚产生的无限小的量，如一个无限小的时间间隔称为一个瞬．牛顿把全部微积分问题分为两大类，他用运动学上的术语表达为：“速度”与“路程”．“速度”相当于现在的导函数，“路程”相当于现在的原函数，“时间”被简单地作为所有变量的公共自变量，流数术所提出的中心问题是：①已知连续运动的路程，求给定时刻的速度(即微分法)；②已知运动速度，求给定时间内经过的路程(即积分法)．牛顿专论微积分的著作有两部，第一部正式的、系统的论述流数术的重要著作是《流数术和无穷级数》，于1671年写成，在1736年才正式出版．另一部著作是《曲线求积论》，于1676—1691年写成，在1704年出版．用字母x，y，z…表示流动量，简称为流量，用加点字母x，y，z…表示流动率，称为流数，或称为速度，用字母。表示一个瞬．
德国数学家莱布尼兹(LeIbniz，1646—1716)从儿何角度出发独立地创立了微积分(1675—1676)．莱布尼兹当时把微积分称为“无穷小算法”．他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中．1684年他在《教师学报》杂志上发表了微分法的论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．这是历史上最早发表的关于微积分的文章．1686年他在该杂志上又发表了最早的积分法的论文《潜在的几何与不可分量和无限的分析》．他是历史上的符号创造家之一：用df表示微分(拉丁文叫differentia即“细分”的第一个字母)，r表示导数，dx。表示n阶微分，∫表示积分(拉丁文summa即“求和”的第一个字母s的拉长变形)．
在数学史上，关于微积分创立的优先权问题发生了一场激烈的争论，英国皇家学会为此成立了专门的评判委员会．经过长时间的调查，裁定牛顿与莱布尼兹分别独立地创立了微积分．牛顿的“流数术”与莱布尼兹的“无穷小算法”，只是名称不同，实质是一回事．他们创立微积分的途径和方法不同．牛顿主要是在力学研究的基础上，运用几何方法来研究微积分；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积问题上，运用分析方法引进微积分的概念．他们各有特点，牛顿在微积分的应用方面处理得较好，主要结合运动学．莱布尼兹对表达形式所采用的符号运用得较好．因此将微积分基本定理称为“牛顿～莱布尼兹公式”．
数学分支：现代数学的共同基础的“集合论”