点共线与线共点.doc

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点共线与线共点

我们时常遇到点共线和线共点的问题，面对这类题目若能抓住“两面相交必有唯一交线”这一关键，问题就会变得清晰透彻．下面例析两例，以供同学们参考．
一、点共线问题
证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．

例1如图1，正方体中，与截面关于点，交于点，求证：三点共线．
证明：平面，且平面，
是平面与平面的公共点．
又，平面．
，平面．
也是平面与平面的公共点．
是平面与平面的交线．
为与截面的交点，
平面，平面，即也是两平面的公共点．
，即三点共线．
二、线共点问题
证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法
是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上．

例2如图2，已知空间四边形分别是的中点，分别是上的点，且，求证：相交于同一点．
证明：分别是的中点，
，且．
又，，且，
，且．
四边形是梯形，其两腰必相交，
设两腰相交于一点，
平面，平面，
平面，平面，
又平面平面，．
故相交于同一点．