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第33卷第10期数学的实践与认识Vol133No110
2003年10月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYOcto.,2003

非等间距序列的灰色模型

王钟羡1,吴春笃2,史雪荣3

(11江苏大学理学院力学系,江苏镇江212013;南京理工大学理学院,南京210094)
(2.江苏大学生物与环境工程学院,江苏镇江212013)
(3.盐城师范学院数学系,江苏盐城224002)

摘要:在对原始数据序列的一次累加生成时,考虑序列的间距,提出了对非等间距序列建立GM(1,1)模
型的基本理论和方法.通过对算例进行的计算,表明本文提出的方法概念明确、计算方便、有较高的拟合和
预测精度.对解决各个领域中广泛存在的非等间距序列的建模拟合和预测问题提供了一种比较好的方法.
关键词:非等间距序列;灰色模型;预测;拟合

1绪言
灰色系统理论自创建以来,在各个领域得到了广泛的应用.但是灰色系统模型的建立
大多基于等间距序列.而在实际工作中所得到的原始数据往往是非等间距的序列,因此建
立非等间距序列的GM(1,1)模型有广泛的现实意义.文[1]通过在原来非等间距序列中添
加线性插值得到等间距序列后,建立了GM(1,1)模型.本文研究表明,若在对原始数据序
列的一次累加生成(1-AGO)时,考虑序列的间距并将其作为乘子,则建立非等间距序列的
GM(1,1)模型的方法与等间距序列相同.本文对文[2]给出的算例进行了计算.结果表明
本文提出的方法概念明确、计算方便、有较高的拟合和预测精度.

2非等间距序列灰色模型的建立
2.1基本理论
(0)(0)(0)(0)
定义1设序列X(ki)={x(k1),x(k2),⋯,x(kn)},若间距

△ki=ki-ki-1,i=2,3⋯n(1)
(0)
不为常数,则称X(ki)为非等间距序列.
(1)(1)(1)(1)
定义2设序列X(ki)={x(k1),x(k2),⋯,x(kn)},若其中
i
(1)(0)
x(ki)=∑x(kj)△kj,i=1,2⋯n(2)
j=1
(1)(0)
则称X(ki)为非等间距序列X(ki)的一次累加生成(1-AGO)序列.
(0)(1)
定理1非等间距序列X(ki)若按公式(2)构造一次累加生成序列X(ki),则对生成
序列建立的白化微分方程
(1)
dx(t)()
+ax1(t)=u,t∈[0,∞)(3)
dt
的离散化方程可表示为

收稿日期:2002210231
基金项目:江苏省自然科学基金资助项目(项目编号:BK99109)
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10期王钟羡,等:非等间距序列的灰色模型71

(0)(1)
x(ki+1)=aZ(ki+1)+u,i=1,2⋯n-1(4)
(1)(1)
其中Z(ki+1)为x(t)在离散区间[ki,ki+1]上的背景值.
(1)
证明将生成序列X(ki)的白化微分方程
(1)
dx(t)(1)
+ax(t)=u,t∈[0,∞)
dt

在区间[ki,ki+1]上积分,则有

ki+1ki+1ki+1
dx(1)(t)+ax(1)(t)dt=udt
∫k∫k∫k
iii

i
(1)(0)
∵x(ki)=∑x(kj)△kj
j=1

k
i+1(1)(1)(1)(0)
∴dx(t)=x(ki+1)-x(ki)=x(ki+1)△ki+1
∫k
i
(1)(1)
又∵x(t)在区间[ki,ki+1]上的背景值为Z(ki+1)
kk
i+1(1)i+1(1)(1)
∴ax(t)dt=aZ(ki+1)dt=aZ(ki+1)△ki+1
∫k∫k
ii
(0)(1)
∴x(ki+1)=aZ(ki+1)+u
证明完毕.
(1)
定理2对于公式(2)构造的一次累加生成序列X(ki)的白化微分方程
(1)
dx(t)(1)
+ax(t)=u
dt
(1)(0)
若规定t=k1时,x(k1)=x(k1).则其响应函数为

()()u()u
10-aki-k1
xd(ki)=x(k1)-e+,i=1,2,⋯(5)
aa
还原后模型表达式为

()△()-a(k-k)
01aki+10ui+11
xd(ki+1)=(1-e)x(k1)-e,i=1,2,⋯(6)
△ki+1a
证明对于微分方程
(1)
dx()
+ax1=u
dt
u
若令p=x-
a
dp
则有=-adt
∫p∫
-at+c
即p=e
c
令c0=e

u-at
则有p=x-=c0e
a
(1)(0)
由(2)式:当t=k1时,x(k1)=x(k1),故

(0)uak1
c0=x(k1)-e
a