微弱正弦信号检测模型混沌解的判定.pdf

第17卷第4期地球物理学进展Vol.17No.4
2002年12月(711～714)PROGRESSINGEOPHYSICSDec.2002
微弱正弦信号检测模型混沌解的判定

李月杨宝俊李亚峻
(吉林大学,长春130012)

[摘要]运用Melnikov方法就混沌检测模型的混沌判据问题进行研究,证明并推导该数学模型
为非线性混沌系统及系统出现混沌状态的临界值.为正弦信号的混沌检测和混沌振子法用于准周
期信号检测提供理论依据,也为从低信噪比地震勘探资料中提取有效信息建立理论基础.
[关键词]Melnikov方法;混沌振子;信号检测
[中图分类号]TN911.7[文献标识码]A[文章编号]100422903(2002)0420711204

0引言

近10年来,非线性科学中的混沌理论为人们提供了分析、研究复杂非线性动力系统的
全新方法.混沌振子法为在强不规则复杂噪声背景下提取准周期有效信号提供了崭新的技
术,是从低信噪比地球物理资料中提取有效信息的重要理论基础.从信号处理的角度,验证
一个非线性系统是否呈现混沌状态,首先需从系统模型的物理背景出发探讨;其次,必须实
验验证[1—4].用于微弱正弦信号的混沌检测模型仿真实验效果是令人满意的[5,6].本文应用
Melnikov方法从理论上证明该混沌检测模型存在混沌状态,并得出其混沌解范围.

1系统运行轨迹

1.1奇点分类判定
构成微弱正弦信号混沌检测系统的数学模型为
·
¨x+εkx-x3+x5=εAcos(ωt).(1)
·
x=y,
其等价系统为·(2)
y=x3-x5-εky+εAcos(ωt).
当ε=0时,方程(1)为哈密顿系统,其哈密顿量为[6]
111
H=y2-x4+x6=h.(3)
246
·
x=y
当ε=0且·时,解得三个不动点为(0,0),(1,0),(-1,0).
y=x3-x5=0
假设系统的特征根为λ,则系统的特征方程为
0-λ1
=0λ2=3x2-5x4.
3x2-5x40-λ
当不动点为(±1,0)时,λ=±2i,所以(±1,0)为中心.

[收稿日期]2002208210;[修回日期]2002210220.
[基金项目]国土资源部“十五”科技攻关项目(20001010204)和吉林省科技发展计划项目(20020626)资助.
[作者简介]李月,女,1958年生,吉林省长春市人,博士,吉林大学通信工程学院教授,主要研究信号与信息处理及微弱
信号检测.(Email:[e-mail]).

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地球物理学进展·217·17卷

当不动点为(0,0)时,λ=0;讨论(0,0)的奇点性质.
做Briot2Bouquet变换y=ηx,将(x,y)平面上的复杂奇点分解成(x,η)平面上的较简单
奇点.则当ε=0时,方程组(2)可化成如下的形式:
·
x=y,
·(4)
y=x3-x5.
因为表达式x3-x5中不包含因子y,所以(0,0)是孤立奇点.因此(4)可以写成:
·
x=y,
()
·325
y=akx(1-x).
2
假定ak=1,h(x)=-x,k=3,则(0,0)的性质由k决定.因为k=3=2×1+1,根据
[7]
Briot2Bouquet引理可知,当a2×1+1>0(n=2)时,奇点(0,0)是鞍点.
1.2同宿轨道表达式
由上述分析可知,当h=0时,存在两条连结鞍点的同宿轨道.其表达式为:
·
x=y
111,
y2-x4+x6=0
246
11x22
y2=x4-x6,y=±1-x2,
2323
dxx22dxdt
=±1-x2,=±.
dt2322
x21-x2
3
32dt
假设x=sinα,则csc2αdα=±.
232
2t
将上式两边积分:-ctgα=±+c.(6)
32
3
因为当y=0且t=0时,由h=0可解得x=±,所以c=0.
2
3-2x2
又因为ctgα=,(7)
2x
636t
将(7)代入(6)得:x=±2,对x求导解得:y=º3.
2
3t+4(3t+4)2
6
x0(t)=±,
3t2+4
所以两条同宿轨道的表达式为:(8)
36t
y0(t)=º3.
2
(3t+4)2

该系统的运行轨迹即为x0(t)、y0(t)随时间t变化的曲线.

2混沌区域

2.1混沌解证明

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4期李月,等:微弱正弦信号检测模型混沌解的判定