小孩拉玩具问题数学模型.doc

小孩和玩具的问题
图1
A
B
C
图2
解：假设小孩拉的玩具如图1所示，由于整个推拉过程中（图2），玩具走的轨迹，只与C在地面上的投影点B的轨迹有关。所以我们把模型简化为图3。

A
a
图3
假设1：小孩B点所走曲线为沿着小
棒a的方向（直线AB），则玩具A走的轨
迹为直线（沿AB方向的）。此时，小孩行
走的速度与玩具的速度相同。
假设2：小孩B点所走曲线为一个A点
为心的圆，则玩具不动。此时，如果小孩B
行走的速度为v，而玩具A的速度却为零，
这说明，在推玩具的过程中，小孩B的速度
与玩具A的速度不同。
由此特殊情况，我们可以看到，当小孩B行走的路线是曲线时，小孩B的速度与玩具A的速度是不同的。
假设3：如果小孩B点走的轨迹是一条曲线c（图4），不妨设曲线的轨迹方程是一个与时间t有关的参数方程。而玩具A走的轨迹为曲线c´。
图4

则t时刻小孩的坐标为，
玩具的坐标为。
（1）t时刻，由于的距离为a，由于小孩拉的是硬棒，在小孩拉玩具的过程中，假设棒与地面的角度不变，因此有，
即……（1）
（2）设玩具在A点的速度，则的方向应为玩具所走曲线c的切线方向，而玩具始终是沿着小棒AB的方向，所以，且；
又小孩的速度的方向为其运动轨迹的切线方向，且投影在方向上的分速度为玩具的速度。
又，由向量知识有，
故有，
化简得。
玩具(x,y)(X,y)x方向

Y
方
向

（x,Y）
(X,Y)
图5
当玩具坐标为，小孩坐标为时，其位置关系如图5所示，

玩具运动速度在x方向上的分量为……(2)
其中
同理，玩具运动速度在y方向上的分量为……(3)
其中；
当小孩所走曲线为一个以原点为圆心半径为R的圆时，小孩所走路径的曲线方程为：
，
则t时刻小孩的速度为
……(4)
设初始时刻，玩具的位置为(i,j)，即……(5)
联立(2)(3)(4)(5)式,建立如下微分模型：
整理得：

利用MATLAB软件求解上述微分模型，程序如下：
函数文件：
functiondy=sudufl(t,y)%速度用x轴和y轴上的分量表示
R=5;
dy(1)=(-R*sin(t)*(R*cos(t)-y(1))+R*cos(t)*(R*sin(t)-y(2)))*(R*cos(t)-y(1))./((R*cos(t)-y(1))^2+(R*sin(t)-y(2))^2);
dy(2)=(-R*sin(t)*(R*cos(t)-y(1))+R*cos(t)*(R*sin(t)-y(2)))*(R*sin(t)-y(2))./((R*cos(t)-y(1))^2+(R*sin(t)-y(2))^2);
dy=[dy(1),dy(2)]

主函数：
clear,clc
R=5;
i=[10,12,8];j=0;
t0=0;tn=200;
[t,y]=ode45('sudufl',[t0,tn],[i(1),j]);
X=R*cos(t);
Y=R*sin(t);
subplot(1,3,1),plot(X,Y,'r.',y(:,1),y(:,2),'*'),title('玩具初始位置为（10，0）点时玩具的轨迹')
[t,y]=ode45('sudufl',[t0,tn],[i(2),j]);
subplot(1,3,2),plot(X,Y,'r.',y(:,1),y(:,2),'+'),title('玩具初始位置为（12，0）点时玩具的轨迹')
[t,y]=ode45('sudufl',[t0,tn],[i(3),j]);
subplot(1,3,3),plot(X,Y,'r.',y(:,1),y(:,2),'.'),title('玩具初始位置为（8，0）点时玩具的轨迹')