高中数学竞赛讲义-奇数偶数.doc

高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家

PAGE-6-
HYPERLINK"http://"版权所有@高考资源网

§25奇数偶数
将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m（m∈Z），任一奇数可表为2m+1或2m－1的形式.奇、偶数具有如下性质：
（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；
奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；
奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；
（2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式（m∈Z）.
（3）任何一个正整数n，都可以写成的形式，其中m为非负整数，l为奇数.
这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.
例题讲解
1．下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？
□+□=□，□-□=□，□×□＝□，□÷□＝□.

2．已知n是偶数，m是奇数，方程组的解是整数，那么()
（A）p、q都是偶数.（B）p、q都是奇数.
（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数

3．在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.

4．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？

5．设a、b是自然数，且有关系式
123456789=（11111+a）（11111-b），①
证明a-b是4的倍数.

--++----+6．在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.
++-++---+b
a

7．设正整数d不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d｝中可以找到两个元素a,b，使得ab－1不是完全平方数.

8．设a、b、c、d为奇数，，证明：如果a+d=2k，b+c=2m，k,m为整数，那么a=1.

9．设是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a1a2a3a4+a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0，证明：n必须是4的倍数.

3.分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.
4.解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有高+考+资+源+网

a1=0,偶高+考+资+源+网
a2=1奇
a3=3a2-a1,奇
a4=3a3-a2,偶
a5=3a4-a3,奇
a6=3a5-a4,奇
………………
由此可知：

其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.高+考+资+源+网

6.解按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.
表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.
显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.
7.解由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d－1，5d－1，13d－1中至少有一个不是完全平方数.
用反证法，假设它们都是完全平方数，令高+考+资+源+网

2d－1=x2①
5d－1=y2②
13d－1=z2③
x,y,z∈N*
由①知，x是奇数，设x=2k－1，于是2d－1=（2k－1）2，即d=2k2－2k+1，这说
明d也是奇数.因此，再由②，③知，y,z均是偶数.
设y=2m,z=2n,代入③、④，相减，除以4得，2d=n2－m2=(n+m)(n－m)，从而n2－m2为偶数，n，m必同是偶数，于是m+n与m－n都是偶数，这样2d就是4的倍数，即d为偶数，这与上述d为奇数矛盾.故命题得证.
8.首先易证：从而
.再由
因而①高+考+资+源+网

显然，为偶数，为奇数，并且只能一个为4n型
偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a不是4
的倍数），高+考+资+源+网

因此,如果设，其中e,f为奇数，那么由①式及的特性就有
（Ⅰ）或（Ⅱ）
由得e=1，
从而于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为
或高+考+资+源+网

解之，得.因a为奇数，故只能a=1.
9.证明:由于每个均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项也只取1或