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主成分分析(PCA).pdf

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主成分分析、因子分析 两者的适用条件是一致的，非 常类似，而且后者为前者的进 一步分析。 所以，两种方法在SPSS中均 采用同一个Factor过程。 流行病与卫生统计学系王静制作 主成分分析 PrincipalComponent Analysis 流行病与卫生统计学系王静制作 定义： 从多个数值变量（指标）之间的相互关 系入手，利用降维的思想，将多个变量 （指标）化为少数几个互不相关的综合 变量（指标）的统计方法。 流行病与卫生统计学系王静制作 举例说明： 对20例肝病患者进行肝功能测试，即 收集4个指标（转氨酶、肝大指数、硫酸锌 浊度、胎甲球）的测定得分，来评价患者的 肝功能。见PCA1.sav。 流行病与卫生统计学系王静制作 流行病与卫生统计学系王静制作 如何利用这4个随机变量对患者的肝功能作出评 价？ 如果仅选用其中一个变量来评价，尽管方便，却 损失其它很多有用的信息，易产生片面的结论； 如果用各变量得分的合计来评价肝功能，虽然是 综合考虑了所有变量，但各变量是同等地从不同 侧面反映个体的性质。 流行病与卫生统计学系王静制作 事实上，各变量所包含的信息量多少不 一，各变量间不是独立的，而是有交叉、有 共性、相关的；变量间的共性一般以相关性 表示，相关愈大，则共性愈多，反之亦然。 流行病与卫生统计学系王静制作 能否找到一种合理的方法，消除各分析指标之间的 相关性，然后再进行全面评价？ 措施： 我们可以根据这些随机变量，计算少数几个综 合指标，来反映多个原始变量所提供的信息，而且 各综合指标能够互相独立地代表某一方面的性质。 流行病与卫生统计学系王静制作 根据这些相互之间存在相关性的随机变量，计算 少数几个综合指标以取代原始变量，反映多个原 始变量所提供的信息——这种多元分析方法即 为主成分分析。 主成分分析的关键是：计算综合指标 主成分即综合指标，它在个体间的变异应该 越大越好。 流行病与卫生统计学系王静制作 主成分分析的应用条件 要求变量间存在较大的相关性，当相关较小 时，应用主成分分析是没有意义的。 流行病与卫生统计学系王静制作 主成分的性质及计算 流行病与卫生统计学系王静制作 设有m个指标x1，x2，…，xm，欲寻找可以概括 这m个指标主要信息的综合指标（即：主成分） C1，C2，…，Cn，（n≤m），这n个综合指标 是m个原始指标的标化值Z1~Zm的线性组合。 C1=a11Z1+a12Z2+…+a1mZm C2=a21Z1+a22Z2+…+a2mZm …… Cn=an1Z1+an2Z2+…+anmZm 流行病与卫生统计学系王静制作 从理论上讲，求得的主成分个数最多可有 m个，这时m个主成分就反映了全部原始 指标所提供的信息； 实际工作中，所确定的主成分个数n总是 小于原始指标个数m（n＜m）。 流行病与卫生统计学系王静制作 计算过程： 第一步： 将m个变量各自标准化：zi=(xi-xi)/si， i=1，…，m 消除不同变量的不同量纲的影响。 流行病与卫生统计学系王静制作 第二步：寻求（计算）主成分： 首先寻求第一主成分C1j（j为研究对象个体序号） ，它必须是z1，z2，…，zm的线性组合，即C1j =a11z1+a12z2+…+a1mzm；在某个限制条件下， 使C1j的方差Var（C1j）达到最大，C1j就称为 第一主成分。 Var（C1j）=λ1，λ为特征根 流行病与卫生统计学系王静制作 流行病与卫生统计学系王静制作 如果C1j不足以代表m个变量，则考虑采用第二主成 分C2j，它也必须是z1，z2，…，zm的线性组合， 即C2j=a21z1+a22z2+…+a2mzm；在某个限制条 件下，使C2j的方差λ2达到最大。 如此往复，直至找到最多m个主成分（主成分的 个数不超过变量个数m）。 流行病与卫生统计学系王静制作 按各主成分所提供的信息大小顺序，分别称C1 ，C2，…，Cn为第一主成分、第二主成分、 …、第n主成分； 各主成分之间互不相关，即Ci与Cj之间的相关系 数rCi，Cj=0。 流行病与卫生统计学系王静制作 几个有关的术语及统计量 流行病与卫生统计学系王静制作 1、特征根： Var（Ci）=λi 各主成分所提供的信息量多少，常用其方差的大小 （即特征根λ）来衡量，λ愈大，该主成分提供 的信息量就愈大，可见：λ1＞λ2＞…＞λm。 流行病与卫生统计学系王静制作 TotalVarianceExplained InitialEigenvalues ComponentTotal%ofVarianceCumulative% 11.71842.95642.