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主成分分析与因子分析详细的异同和SPSS软件

摘要：主成分分析与因子分析(R-型)应用十分广泛，但一些论文和一些SPSS软件教科书（见附文）出错。本文指出了这些错误及其成因,指出了出错造成的危害，从原理上给出了主成分分析与R-型因子分析数学模型详细的异同，给出了避免出错的方法,并对SPSS软件及有关教科书提出了一些建议。
关键词：主成分分析；因子分析；SPSS软件；出错；避免
设=(X1,…,XP为标准化随机向量（p≥2）,R为相关系数矩阵,=（F1,…,Fm为主成分向量，=（Z1,…,Zm为因子向量，m≤p,为方便，因子、因子估计、因子得分用同一记号。
一、问题的提出与结论
主成分分析与R-型因子分析是多元统计分析中的两个重要方法，同是降维技术，应用范围十分广泛，但通过流行甚广的SPSS软件调用这两种方法的过程命令，使用者容易出错，是什么原因造成这些错误呢？主成分分析与R-型因子分析到底有何异同呢？出错会造成什么危害呢？
由于SPSS软件在经济、医学、管理等领域中的广泛流行使用，解决这些问题尤其必要。
经过对一些论文和一些SPSS软件教科书（见附文）仔细查证分析、比较、研究得出：
出错原因：有些使用者和书作者对主成分分析与R-型因子分析的原理、异同与解题步骤掌握不透，现行SPSS软件及其书中没有完善这两种方法的研究（对高校师生出错影响很大）。
结论：主成分分析与R-型因子分析有10处主要的不同，致使主成分分析与因子分析的定量综合评价体系不同，混淆在一起是不同定量值交替错误，综合评价必须分开进行。
出错带来的危害：企业经济效益、竞争力等的综合评价会带来误评，医学诊断会带来误诊，决策会带来误断等。
二、一些使用者出现的错误及其成因分析
经过仔细查证分析，有下列错误：
使用主成分分析时①对主成分分析的原理没有掌握,如叙述主成分分析概念出错。②主成分F求解出错，如=中（为单位矩阵,的意义见表1）。③不知主成分F的命名依据，对主成分F命名出错。④解释变量某Xk被丢失。⑤对错误地进行旋转。⑥错误地进行回归求F。⑦把因子分析法(含没有旋转过程的)错误地当作主成分分析法。
使用因子分析时①对因子分析的原理没有掌握,如将因子分析的思想叙述为主成分分析的思想。②不知因子Zi的命名依据，对因子Zi的命名出错，如用因子得分函数对因子Zi进行命名。③解释变量某Xk被丢失。④将主成分或因子错误地表示为（的意义见表1）。⑤不知相关系数矩阵特征值与因子贡献vi的区别，如综合因子得分函数Z综=Zi中的vi错误地取为特征值。使用SPSS软件时①由于SPSS软件本身无主成分分析模块，有些使用者就用因子分析中一些模块来制造主成分的结果，出现了混乱的定量过程。②由于SPSS软件教科书中因子分析内容处混淆主成分分析与因子分析，致使有些使用者也混淆这两种方法出错。
从以上可看出出错的原因是：有些使用者对主成分分析与R-型因子分析的原理（原理可见[4]）、异同与解题步骤掌握不透，现行SPSS软件及其书中没有完善这两种方法的研究。
三、主成分分析与R-型因子分析数学模型的异同比较
这里给出的主成分分析与R-型因子分析的异同，与现行观点相比，是内容与过程上的比较，更透彻、更准确，是认识的深入。
相同之处：主成分分析与R-型因子分析都是对协差阵的逼近，都是打算降维解释数据集。具体为指标的正向化[3],指标的标准化（SPSS软件自动执行）,通过相关系数矩阵判断变量间的相关性，求相关系数矩阵的特征值和特征向量,主成分间、因子间线性无关，用累计贡献率（%）、变量不出现丢失确定主成分、因子个数m,前m个主成分与前m个因子对X的综合贡献相同、是最大化的，命名依据都是主成分、因子与变量的相关系数。
不同之处：方差,最大化方向,所处的坐标系(标准正交性),应用上侧重等见表1。
表1主成分分析与R-型因子分析的不同
区别项目主成分分析数学模型：R-型因子分析数学模型：表达式与系数矩阵
=()=(…,),,是相应的特征值和单位特征向量,≥…≥≥0。+(为特殊因子),
因子载荷矩阵m=()=,
=（…,）
为初等因子载荷矩阵HYPERLINK"http://www.gdcc.edu.cn/10-jxzy/jylt/1_jylt_19.htm"\l"_ftn2#_ftn2"\o""*（同左）。因变量方差最大化Fi依次达到信息贡献最大化,
VarFi=。Zi没有达到最大化，VarZi=1。矩阵方差最大化旋转无,旋转后就不是主成分了，因为
VarFi≠λi。有,为方差最大正交旋转矩阵，m达到方差最大化。标准正交性是，即(判据之一)。非，因为。因变量对X
的贡献特征值。vi=，vi，通常>v1。相关系数=。=。命名依据用(,…,)式中系数绝对值大的对应变量对Fj命名，有时命名清晰性低。将的第j列绝