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第23卷第3期甘肃工业大学学报Vol.23No.3
1997年9月JournalofGansuUniversityofTechnologySept.1997

数学建模的层次分析法
陈义华

(甘肃工业大学技术工程学院,兰州730050)

摘要阐述了数学建模层次分析法的基本思想、方法和核心问题,运用层次分析法
建立数学模型的一般步骤和计算方法,并通过实例分析,说明了层次分析法在决策中
的有效性.
关键词数学模型层次分析法决策分析排序数学建模竞赛
分类号O157.5

层次分析法(TheAnalyticHierarchyProcess,简称AHP)是美国著名运筹学家、匹兹堡大
学教授T.L.Saaty于70年代中期提出的一种系统分析方法,是一种实用的多准则决策方法.
该法能够定量与定性相结合,将人的主观判断用数量形式表达和处理,从本质上讲是一种思维
方式,并具有高度的逻辑性、系统性、简洁性和实用性等优点.AHP在工程技术、能源系统分
析、经济管理、城市规划和社会科学等众多领域中都得到了广泛的应用.
本文阐述了AHP的基本思想和步骤、计算问题,针对天车与冶炼炉的作业调度问题,利
用AHP对天车台数进行了最优方案的选择.

[1～3]
1AHP建模的基本思想和步骤

AHP的基本思想是先按问题要求建立一个描述系统功能或特征的内部独立的递阶层次
结构,通过两两比较因素(或目标、准则、方案)的相对重要性,给出相应的比例标度;构造上层
某要素对下层相关元素的判断矩阵,以给出相关元素对上层某要素的相对重要序列.AHP的
核心问题是排序问题,包括递阶层次结构原理、标度原理和排序原理.
运用AHP解决实际问题,大体可以分为4个基本步骤.
1)建立递阶层次结构模型
将问题所包含的因素按属性不同而分层,可以划分为最高层、中间层和最低层.同一层次
元素作为准则,对下一层次的某些元素起支配作用,同时它又受上一层次元素的支配,这种从
上至下的支配关系形成一个递阶层次.
最高层通常只有一个元素,它是问题的预定目标,表示解决问题的目的,因此也称目标层.
中间层为实现总目标而采取的措施、方案和政策,它可以由若干个层次组成,包括所需考
虑的准则、子准则,因此也称为准则层.
最低层为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,用于解决问题的各种途径和方法,
也称为方案层,见图1.

收稿日期:1996205216
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第3期陈义华:数学建模的层次分析法·39·

当某个层次包含因素较多时(如
超过9个),可将该层次划分为若干
层.
2)构造两两比较判断矩阵

设要比较n个因素X={x1,x2,

⋯,xn}对目标Z的影响,确定它们在

Z中所占的比重.每次取两个因素xi

和xj,以aij表示xi和xj对Z的影响
之比,得到两两比较判断矩阵:

A=(aij)n×n(1)
1
其中,aij>0,aji=(i≠j)
aij

aij=1(i,j=1,2,⋯,n)(2)
使式(2)成立的矩阵称为正负反矩阵.
图1递阶层次结构示意图
确定aij采用1～9及其倒数作为

标度的标度方法(见表1).如果介于上述相邻判断中间,aij取值分别为2,4,6,8.
3)层次单排序及其一致性检验表1比较尺度的取值方法

(1)层次单排序.先解出判断矩阵A的最大xiöxj相等较强强很强绝对强

特征值Kmax,再利用:aij13579

AW=KmaxW(3)

解出Kmax所对应的特征向量W,W经过标准化后,即为同一层次中相应元素对于上一层次中某
因素相对重要性的排序权值.
(2)一致性检验.首先计算A的一致性指标CI,定义:

Kmax-n
CI=(4)
n-1
[1]
式中,n为A的阶数.当CI=0,即Kmax=n时,A具有完全一致性.CI愈大,A的一致性愈差.
CI
将CI与平均随机一致性指标RI进行比较,令CR=,称CR为随机性一致性比率.当
RI
CR<0.10时,A具有满意的一致性,否则要对A重新调整,直到具有满意的一致性.这计算出

的Kmax所对应的特征向量W,经过标准化后,才可以作为层次单排序的权值.
表2给出了对于1～9阶判断矩阵的RI值.
表2随机性指标RI值

阶数n123456789
RI000.580.901.121.241.321.411.45
4)层次总排序及其一致性检验
利用同一层次中所有层次单排序结果,计算针对上一层次而言本层次所有元素重要性的

权值,这就是层次总排序.设上一层次所有元素A1,A2,⋯,Am的总排序已完成,其权值分别为

a1,a2,⋯,am与aj对