几种不同的函数的增长类型.doc

2005年优秀教学案例评选学科：高中数学
几类不同增长函数模型
新兴县惠能中学彭国伟
加强了函数模型背景和应用的要求，是高中课程目标的规定，新课标课程目标中的第一条就明确指出：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本和数学概念、结论等产生的背景、应用，体会期中蕴涵的数学思想方法，以及它们在后继学习中的作用，对于”函数“这一高中数学的核心概念，当然就要加强函数模型背景和应用的要求，使学生通过丰富的实例，进一步体会函数是因变量随着自变量变化莫测的重要数学模型让学生通过具体实例去了解指数函数模型的实际背景，去了解对数函数模型的实际背景；让学生通过实例去体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集现实生活中普遍使用的数学模型实例，去了解函数模型的广泛应用。这可以使学生在亲身经历上述过程中，更好地认识规律，对于激发学生的学习兴趣，发挥学生学习的主动性，提高学生效率都将是十分有益的高中数学教学笔者结合几类不同增长的函数模型的教学设计和教学谈一些个人体会。
创设情景、引入新课
师：我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，能否举出一些函数模型的具体例子？
生：指数函数、对数函数、幂函数等等。
师：当我们面临一个实际问题时，应如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？如果我们能够找出相应的数学模型，又是如何去研究它的性质呢？下面先给一实例来研究一下。
《“玫瑰花”悬案》
拿破仑·波拿巴（1769～1821年），军事家、统帅，法国大革命时期参加革命军，由士兵升为准将、少将、直至元帅．1804年加冕皇帝，建立法兰西第一帝国．
拿破仑还算得上是一位与数学有缘分的人，几何学上的一个定理是他发现并证明的．这条定理是：若在任意三角形的各边向外作等边三角形，则它们的外接圆圆心也构成一个等边三角形．公元1797年，当拿破仑参观国立卢森堡小学的时候，赠送了一束价值12000法郎的玫瑰花，并不假思索地许诺说：“明年我将再送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征．”然而，拿破仑忘却了这一诺言！
x
y
o
公元1894年，卢森堡王国郑重向法兰西共和国提出了“玫瑰花”
悬案，要求法国政府在拿破仑的声誉和高达百万法郎的债款中，二者
选其一．
请大家分析下12000法郎怎么会变成高达百万法郎，若1894年法
国政府要赔，则究竟要赔多少？若没赔，这笔债款到今天该是多少呢？
请列出函数式，并用计算器算一算．（设年利率为5%）
题目一给出，同学们兴趣高涨，都相互合作分析、研讨。有学生用到一次函数模型，也有学生用到二次函数模型，但经分析后都发觉不怎么符合题意。最后经引导分析用到的指数型函数，具体分析过程如下：
〖分析〗设过了x年后，1798年的12000法郎增长为y法郎，则
若1894年法国政府要赔，则要赔万法郎
若没赔，这笔债款到今天应该是万法郎
这种增长模型，我们把它形象地称为指数爆炸型。
二、研究探讨
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问：你会选择哪种投资方案？
〖探究〗师：我们先对对题目仔细分析，这里问的是如何选择投资方案，我们应从哪个方面考虑？应该选择回报最多的投资方案。那么如何来比较这三种方案所取得的效益最大？
生：建立适当的函数模型，然后再比较大小。
师：我们知道，在这里每种方案的回报效益与投资的天数有着密切的关系，因此可以以天数作为自变量，建立三种投资方案所对应的回报效益的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供理论依据，那么如何建立函数呢？
生：设第x天所得回报为y元。
则：方案一可以用函数y=40进行描述；
方案二可以用函数y=10x进行描述；
方案三可以用函数y=0.4进行描述；
师：很好，哪们同学说说这三个函数分别是哪种类型的函数，它们的增减性又是怎样的呢？
生：第一个是常数函数模型，第二个是一次函数模型，第三个是指数函数的模型，而且第二、三个函数都是递增函数的模型。
师：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？同学各抒己见;
表112-1

师：通过表格分析你能得出这三种方案所得回报的增长情况吗？为什么会产生这种情况呢？
生：一开始几天方案一的回报多，接下来方案二的回报多，到最后方案三的回报多。从表格中可分析出，方案一的函数是一个常数函数，每天的回报数是一个常量；方案二、方案三的函数都是增函数，每天的回报数都在不断增加。
师：既然方案二、方案三的函数都是增函数，每天的回报数都在不断增加，那么为什么先