2013佛山二模（理数）.doc

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2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测
数学（理科）2013.4
本试卷，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，则
A． B． C． D．
2．已知复数的实部为，且，则复数的虚部是
A．B．C．D．
3．已知数列是等差数列，若，则数列的公差等于
A．1 B．3C．5 D．6
4.为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是
90
110
周长(cm)
频率/组距

100
120
130
0.01
0.02
0.04
80
第4题图
A．30B．60
C．70D．80
5．函数，,则
A．为偶函数，且在上单调递减；
B．为偶函数，且在上单调递增；
C．为奇函数，且在上单调递增；
D．为奇函数，且在上单调递减.
6．下列命题中假命题是
A．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；
B．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直；
C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行．
7．直线与不等式组表示的平面区域的公共点有
A．个B.个C.个D.无数个
8．将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法：
O
y
x
P
B
A
第8题图
①的值域为；
②是周期函数；
③；
④.
其中正确的说法个数为:
A.0B.C.D.
二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
(一)必做题(9～13题)
9．命题“R，0”的否定是.
10.已知向量满足,,向量与的夹角为.
11．若二项式展开式中的系数等于的系数的倍，则等于.
12．已知圆经过点和,且圆心在直线上,则圆的方程为.
第13题图
13．将集合{|且}中的元素按上小下大，
左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第行第列
的数记为（）,则=.ks5u
(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线与
的交点分别为，则线段的垂直平分线的
极坐标方程为．
第15题图
15．（几何证明选讲）如图，圆的直径，直线与圆O
相切于点，于，若，设，
则______．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在第一象限，
已知.
（1）若,求的值；
（2）若点横坐标为,求.

17．（本题满分12分）
市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路、、上下班时间往返出现拥堵的概率都是,道路、上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到.

乙
甲
丙

第17题图
（1）求李生小孩按时到校的概率；
（2）李生是否有七成把握能够按时上班？
（3）设表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到
拥堵的次数，求的均值.

18．（本题满分14分）
如图甲，设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上．
（1）证明：平面；

图甲

图乙

第18题图
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．

19．（本题满分14分）
在平面直角坐标系内，动圆过定点,且与定直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）中心在的椭圆的一个焦点为,直线过点.若坐标原点关于直线的对称点在曲线上，且直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长取得最小值时的椭圆方程.

20．（本题满分14分）
某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为：,只有当污染河道水中碱的浓度不低于时,才能对污染产生有效的抑制作用.
（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？
（2）第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到