高中数学竞赛辅导讲义第四讲 几个初等函数的性质【讲义】.pdf

第四章几个初等函数的性质

一、基础知识

1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0,a¹1)的函数叫做指数函数，其

定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，y=ax是减函数，当a>1

时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

1mm
1-1
．分数指数幂：nnnnm-nn。
2a=a,a=a,a=n,a=
anam

3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0,a¹1)的函数叫做对数函数，

其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0<a<1，y=logax

为减函数，当a>1时，y=logax为增函数。

4．对数的性质（M>0,N>0）；

x
1）a=MÛx=logaM(a>0,a¹1)；

2）loga(MN)=logaM+logaN；

Mn
3）loga（）=logaM-logaN；4）logaM=nlogaM；，
N

n1logaMlogcb
5）logaM=logaM；6）a=M;7)logab=(a,b,c>0,a,c¹1).
nlogca

a
5.函数y=x+（a>0）的单调递增区间是(-¥,-a]和[a,+¥)，单调递减
x
区间为[-a,0)和(0,a]。（请读者自己用定义证明）

6．连续函数的性质：若a<b,f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)=0

在（a,b）上至少有一个实根。
二、方法与例题

1．构造函数解题。

例1已知a,b,c∈(-1,1)，求证：ab+bc+ca+1>0.

【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1(x∈(-1,1))，则f(x)是关于x的一次函数。

所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1<a<1）.

因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0，

f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，

所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.

例2（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn∈R，

nnn
则（2）·（2）≥2，等号当且仅当存在，使
åaiåbi(åaibi)mÎRai=mbi,
i=1i=1i=1

i=1,2,…,n时成立。

nnnn
【证明】令（2）222
f(x)=åaix-2(åaibi)x+åbi=å(aix-bi),
i=1i=1i=1i=1

n
因为2，且对任意∈≥，
åai>0xR,f(x)0
i=1

nnn
所以△（2）2≤
=4(åaibi)-4åai(åbi)0.
i=1i=1i=1

nnn
展开得（2）2≥2。
åai(åbi)(åaibi)
i=1i=1i=1

等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在m，使ai=mbi,i=1,2,…,n。
+æ1öæ1ö
例3设x,y∈R,x+y=c,c为常数且c∈(0,2]，求u=çx+÷çy+÷的最
èxøèyø

小值。

æ1öæ1öxy11xy
【解】u=çx+÷çy+÷=xy+++≥xy++2·×
èxøèyøyxxyxyyx

=xy+1+2.
xy

(x+y)2c21c2
令xy=t，则0<t=xy≤=,设f(t)=t+,0<t≤.
44t4

c2æc2ù
因为0<c≤2，所以0<≤1，所以f(t)在ç0,ú上单调递减。
4è4û

c2c24c24
所以f(t)min=f()=+，所以u≥++2.
44c24c2

2
当x=y=c时，等号成立.所以u的最小值为c+4+2.
24c2

2．指数和对数的运算技巧。

+q
例4设p,q∈R且满足log9p=log12q=log16(p+q)，求的值。
p

ttt
【解】令log9p=log12q=log16(p+q)=t，则p=9,q=12,p+q=16，

t2t
tttæ4öæ4ö
所以9+12=16，即1+ç÷=ç÷.
è3øè3ø

tt
q12æ4ö21±5
记x===ç÷，则1+x=x，解得x=.
p9tè3ø2

qq1±5
又>0，所以=.
pp2
例5对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w，若ax=by=cz=70w，

1111
且++=，求证：a+b=c.
xyzw

【证明】由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

所以1lga=1lg70,1lgb=1lg70,1lgc=1lg70，
wxwywz

1æ111ö1111
相加得(lga+lgb+lgc)=ç++÷lg70，由题设++=，
wèxyzøxyzw

所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.

所以abc=70=2×5×7.