数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程.doc

数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程
一、例题
例1求函数的值域.

例2当实数，满足时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

例3过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，，试求的垂心的轨迹方程.

二、练习题
1.若直线，与能围成一个三角形，则实数的取值范围是_________________________.

2.方程表示的曲线是_______________________.

3.以两圆与的公共弦为直径的圆的方程为__________________________.

4.已知当且时，圆总与直线相切，
则直线的方程是______________________.

5.在平面直角坐标系中，横纵坐标都是有理数的点称为有理点，则过点且其上至少存在两个有理点的直线的条数为__________.

6.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，则平面上的整点到直线的距离的最小值是___________.

7.已知矩形的顶点的坐标为，顶点在圆上移动，且，两边始终分别平行于轴，轴，求矩形面积的最小值，以及取得最小值时点的坐标.

8.已知直线与圆相交于，两点，点在上，且.当变化时，求点的轨迹方程.

9.（2012年全国联赛）在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且.
（1）求证：为定值；
（2）当点在半圆
上运动时，求点的轨迹.

10.直线与相离，点为上任意一点，过点引的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点.

数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程参考答案
1.
2.两个半圆.
3.
4.
5.答案：1.
分析：显然，若存在这样的直线，则该直线必有斜率.下面用反证法证明斜率必为零.假设斜率不为零，设点与为该直线上的两个不同的有理点，则有
，
注意到等号的左边是个无理数，而右边是有理数，矛盾.因此假设错误，即满足条件的直线的斜率必为零.
注：此题属竞赛级别.
6.答案：
分析：平面上的整点到直线的距离
，
因为的倍数，故当且仅当，即，亦即
，（）（根据数论中的孙子定理，当然若想简单一点，
取便可）时，取最小值.
注：此题属竞赛级别.
7.当且仅当点的坐标为或时，矩形面积最小且最小值为.
8.答案：点的轨迹方程为.
分析：易见点在圆的外部，即点在点、的同侧.否则，若点在线段
上，则（这里为圆的半径），矛盾.
利用切割线定理，设直线与圆相切于点，则有，
于是，这表明点在以为圆心，为半径的圆上，但不能说这个圆就是点的轨迹，因为点还有其他约束条件，即点在直线上，而是要与圆相交的.

9.（1）（从几何关系入手）设点为菱形的对角线的交点，则
注：此题的条件可以简化一下.
（2）（利用圆的参数方程）因点在半圆上运动，故可设点的坐标为，
再利用（1）的结论，可得点的参数方程为
（为参数，且），
即点的轨迹是一条线段，端点为，.

10.如图建立直角坐标系，设圆的半径为，
直线的方程为，上的动点
，切点，
则切线，的方程分别为
，，
因点在切线，上，故
，，
上述两个方程表明都在直线上，这恰是直线的方程.
据此方程可知，直线恒过定点.
换个角度，由于，，故点，在以为直径的圆上，
从而直线成为圆与圆的公共弦所在的直线了.

注：直线（也称切点弦）的方程与圆的切线方程非常类似，能记住最好不过了.第一种方法妙不可言，将来可以移植到椭圆、抛物线上.