华约 七校联考2011自主招生考试数学模拟试卷_[讲义].pdf

“华约”七校联考
2011自主招生考试数学模拟试卷
(本试卷满分为100分，分填空题和解答题两部分，考试时间为90分钟)

班级_____________姓名______________学号________成绩___________
一、填空题（本大题共10个小题，每题5分，满分为50分）
1、二次方程1ix21x1i0(i为虚数单位,R），有两个虚根的充分必要条件是的

取值范围为______________。
1111
2、______。
212322343341009999100
11
3、若关于x的方程ax24x20恰有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是
23
_______________。
m
4、已知函数f(x)1x2x3的最大值为M，最小值为m，则_____。
M

n
5、n为不超过2009的正整数，如果有一个，使sinicossinnicosn成立，则这样的n
的总个数为_________个。
6、已知ABC的三个顶点坐标分别为A(04)，，（B-20，），C(20)，，点D的坐标为
（01，），若E为ABC边界上一点，且折线BDE将ABC的面积分成相等的
两部分，则点E的坐标为____________.

7、四面体ABCD中，，ABCD5，ACBD34，ADBC41，5
2
则四面体ABCD的外接球半径为_____________。2

8、有3m(mN*)个球，其中有彩色球m个．甲、乙、丙三人按甲、乙、丙、甲、乙、丙、的顺序依

次从袋中取球，每次取后都放回，规定先取出彩色球者为获胜．则甲、乙、丙获胜的概率比为___________.
9、对于i1，2，，n，有x1，且xxx21xxx，
112nn12
则正整数n的最小值为_______________.

10、已知O是锐角△ABC的外心，AB6,AC10，若AOxAByAC，且2x10y5，则

cosBAC_________.

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二、解答题（本大题共5个问题，每题10分，满分为50分）

11、对于n2定义pn是1,,n的排列的个数，满足有且只有一个i1,2,,n1使得

ii1，求pn这里i指排列中的第i个数的值

2
12、函数f(x)log2[ax(a2)x2(a2)]在区间[aa2,2(2)]上恒有定义，求实
数a的取值范围．

13、数列{an}满足a1p，a2p1，an22an1ann20，其中p是给定的实数，n是正整

数，试求n的值，使得an的值最小．

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ax2cos
14、已知函数fx()在区间0,内是增函数，求实数a的取值范围。
3sinx2

15、平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连。问至少要
连多少条线段？证明你的结论。

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参考答案：
一、填空题：

93528
1、2，2、，3、a0或a，4、，5、503，6、,，7、
1016533
1
8、9:6:4，9、22，10、
3
二、解答题：
从n个数中任选出i个数,1in,前i个数从小到大排列，剩下数也从小到大排列即可，
11、n1
但要除去选出的数是，，，故in
12i,pnCn12n1
i1

2
12、解：设g(x)2ax(a2)x2(a，则2)在区间
f(x)log2[ax(a2)x2(a2)][aa2,2(2)]

上恒有定义即gx()0在上恒成立．

当a0时，g(x)2x40于[2,4]上恒成立．

a2
当a0时，gx()的对称轴0，在上单调增加，所以，
2a
g(a2)(a2)(a23a4)0，

由a20，aa2340，所以a(0,)．

ga(2)0
当a0时，gx()0于上恒成立，则，
ga[2(2)]0
5
2
由，，得2
，即a2；
由g[2(a2)](a2)(2a25a3)0，得2aa2530，
33
解得a或a1，所以，2a或10a．
22
3
综上，a（2,)