考研数学_高等数学_2011年_2012年_冲刺_新东方讲义.pdf

考研数学冲刺班高等数学与微积分

主讲主讲主讲：主讲：：：汪诚义汪诚义

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第一章函数、、极限极限、、连续连续

§§§1.1函数函数函数

一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)
当为奇函数>
a0f(x)(a0)
=
1.∫f(x)dxa
−a2f(x)dx当f(x)为偶函数
∫0
口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。

2.在(a,b)内，若f′(x)>0，则f(x)单调增加

若f′(x)<0，则f(x)单调减少

口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负
1
5x−x2
例1求I=x[x+−(ee)ln(x++x1)]dx.
∫−1

x−x−xx2
解fx1()=e−e是奇函数，∵fxe1()−=−=−efxfx1(),()ln(2=x+x+1)是奇

函数，

22
2(x+1)−x
∵fx2(−=)ln(−+xx−=1)ln
x+x2+1
2
=ln1ln(−xx++=−1)fx2()

x−x2
因此xee(−)ln(x+x+1)是奇函数。

11
662
于是I=xdx+=02xdx=。
∫−1∫07

例2设Fx′()=fx()，则下列结论正确的是

(A)若f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数。

(B)若f(x)为偶函数，则F(x)为奇函数。

(C)若f(x)为周期函数，则F(x)为周期函数。

(D)若f(x)为单调函数，则F(x)为单调函数。

3
2x
解(B)不成立，反例fx()=x,()Fx=+1
3

(C)不成立，反例fx()=cosx+1,Fx()=sinxx+

2
(D)不成立，反例fx()2,()=xFx=x在(−∞+∞,)内

(A)成立。
x
证明F(x)=F(0)+f(t)dt,f为奇函数，
∫0

−xx
FxF()−=+(0)ftdtF()=+−−(0)fudu()()
∫0∫0
x
=F(0)+fudu()=Fx()
∫0

所以，F(x)为偶函数。

例3设f(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且f′()()xgx−fxgx()′()<0，则当

a<x<b时，下列结论成立的是

(A)fxgb()()>fbgx()()(B)fxga()()>fagx()()

(C)fxgx()()>fbgb()()(D)fxgx()()>faga()()

′

f(x)=1′−′<f(x)
解∵2[f()()xgxfxgx()()]0，∴单调减少
gx()gx()g(x)

fx()fb()
于是x<b，则有>，故(A)成立。
gx()gb()

1
二、有关复合函数

1.已知f(x)，g(x)求f[g(x)]

2.已知f[g(x)]和g(x)，求f(x)

fx1()x≤agx1()x≤b
例1、已知f(x)=和g(x)=
>>
fx2()xagx2()xb

求f[g(x)]

fgx1[1()]当xbgx≤，1()≤a

fgx1[2()]当xbgx>，2()≤a
解：f[g(x)]=
≤>
fgx2[1()]当xbgx，1()a
>>
fgx2[2()]当xbgx，2()a

x−x
例2、已知f′(e)=xe，且f(1)=0，求f(x)

x
解：令e=t，则x=lnt，因此

xlnt
fe′()=ft′()=
t
xlnt
于是，f(x)−f(1)=dt
∫1t
1x
=ln2t
2
1
1
=ln2x
2

§§§1.2§1.2极限极限极限

一、有关无穷小量
1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量)；
2.等价无穷小代换；
3.无穷小的阶的比较。
x−sinx
lim
例1求x→0sin3x
x−sinx1−cosx1
=lim=lim=
解原式x→0x3x→03x26
例2设当x→0时(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而

2
(ex2−1)
xsinxn是比高阶的无穷小，则正整数n等于

(A)1(B)2

(C)3(D)4

214
解：()1−cosxln(1+x)→x
2
xsinxn→xn+1
ex2−1→x2

由题意可知，4>n+1>2，

∴n+1=3,n=2选(B)

1
5xsintsinxt
例3设α(x)=dt,β(x)=1(+t)dt，则当x→0时，
∫0t∫0

α(x)是β(x)的()

(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小

(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小

sin5x
⋅5
α()xα'()xx5
lim=lim=lim5=
解x→0β()xx→0β'()xx→01e
1(+sinx)sinx⋅cosx

选(C)

二、有关两个准则

准则1单调有界