江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2009届.doc

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江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学
2009届高三第三次调研测试
数学试题

必试部分

注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、学号用铅笔涂写在答卷纸上。
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分。请将答案写在答题卡对应的位置上）
1．已知集合则实数a=。
2．命题：“”的否定是。
3．已知i是虚数单位，计算：=。
4．在△ABC中，AB=2，D是AC的中点，若=。
5．某公司招聘员工，面试人数y拟照公式表示拟录取人数，现已知面试人数为60人，则该公司拟录取的人数为人。

6．已知米拉等可能地落入如图的示的四边形ABCD内，如果通过大量的实验发现米粒△BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为。

7．一个算法的程序框图如右图所示，若该程序
输出的结果为，则判断框中应填入的条
件是：a<。
8．已知定义在R上的函数

则=。
9．设数列，
且
则S20=。
10．椭圆的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴的正半轴上，那么点P的坐标是。
11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB//平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为。
12．若不等式对任意的正整数n都成立，则a的取值范围是。
13．已知函数方程有3个相异实根。给出下列4个命题：
①方程有且仅有一个相同的实根；
②方程有且仅有一个相同的实根；
③方程的任一实根；
④方程的任一实根。
其中正确命题的序号是。

14．定义区间是实数，且构成的区间的长度之和为。
二、解答题：（本大题共6小题，共90分。请将解答写在答题卡对应的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A，B，C的大小；
（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积。

16．（本小题14分）
已知椭圆E的中心在坐标原点O，经过两点圆C以点（2，0）为圆心，椭圆的短半袖长为半径。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点P是圆C上的一个动点，求的取值范围。

17．（本小题14分）
在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，E，F，G分别是BC，CD，AB的中点（如图1）。将四边形ABCD沿FG折成空间图形（如图2）后，
（1）求证：DE⊥FG；

（2）线段BG上是否存在一点M，使得AM//平面BDF？若存在，试指出点M的位置，并证明之；若不存在，试说明理由。

18．（本小题16分）
某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一个半球组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34πcm3。设圆柱的底面直径为4x(cm)，工艺品的表面积为S(cm2)。
（1）试写出S关于x的函数关系式；

（2）怎样设计才能使工艺品的表面积最小？

19．（本小题16分）对于数列
（1）已知是一个公差不为零的等差数列，a5=6。
①当且
；
②若存在自然数
构成一个等比数列。求证：当a3是整数时，a3必为12的正约数。
（2）若数列中的其他任何一项，求a1的取值范围。

20．（本小题16分）
设函数是单调减函数，值域为
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：；
（3）若函数的最大值为A，求证：

加试部分

注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、学号用铅笔涂写在答卷纸上。
21．[选做题]
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：

（1）l是⊙O的切线；
（2）PB平分∠ABD。

B．选修4—2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD的四个顶点A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），经矩阵表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边A1B1C1D1，问：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积是否相等？试证明你的结论。

C．选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大。

D．选修4—5：不等式选讲
已知