2011年考研数学春季基础班高数下讲义-铁军_大连_.pdf

万学教育·海文考研2011春季数学基础班—高等数学下

2011年万学海文高等数学
春季基础班考研辅导讲义

主讲铁军教授

铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国
各大城市声名鹊起，成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学
辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以
来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、
重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责
的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁
军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统
性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱
戴！2011年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲
临面授，为您考研成功保驾护航。您的理想将在您我的共同
努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！

第六章多元函数微积分学（上）

本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三共同要求的内容，有利于大家的复习
和把握。同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。

第一节多元函数微分学

多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。复习这部分内容时，要对二者加以
比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们
之间的区别。

【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有
界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充
分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多

1内部教材严禁复制
万学教育·海文考研2011春季数学基础班—高等数学下

元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元
函数的最大值、最小值及其简单应用。
数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。
【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与
连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。
在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函（包括由方程组确
定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。
在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格
朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。
【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。另一个考

试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。

一、多元函数微分学的基本概念及其关系

定义1设二元函数zf(,),)xy在点(x0y0的某心邻域内有定义，如果动点(x,y)以任何

方式无限趋于点(,),(,)x0y0时fxy总是无限趋于一个常数A，则称当

(,)(,)xy趋于x0y0时，

fxyA(,)以为极限,记作limfxyA(,),lim(,)或fxyA。
(,)(,)xyx0y0xx0
yy0

定义2如果lim(,)(,),fxyfx0y0则称函数f(x,y)在点(x0,)y0连续。
xx0
yy0
如果f(,)xy在区域D上每一点都连续，则称f(,)xy在区域D上连续。
定理1最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最
大值和最小值。
定理2介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，可以取到它在D上的最小值

与最大值之间的任何值。

定义3偏导数的定义设函数zf(,)(,)xy在点x0y0的某个邻域内有定义，如果极限

f(,)(,)x0xy0fx0y0
lim存在，则称此极限为函数zf(,)(,)xy在点x0y0处对
x0x
x的偏导数，记作

zf
或
,,zxxx0fx(x0,y0),
xxx0xxx0yy0
yy0yy0

f(,)(,)x0xy0fx0y0
即fx(x0,y0)lim.
x0x

类似地，函数zf(,)(,)xy在x0y0处对y的偏导数定义为

f(,)(,)x0y0yfx0y0
fy(x0,y0)lim.
y0y
定义4如果二元函数z=f(x,y)在区域D的每一点(x,y)处都有偏导数，一般地说，它们

内部教材严禁复制2
万学教育·海文考研2011春季数学基础班—高等数学下

zf
仍是x,y的函数，称为f(x,y)的偏导函数，简称偏导数，记为,,f(x,y).
yyy

定义5高阶偏导数如果二元函数zf(,)(,)(,)xy的偏导数fxxy和fyxy仍然具有偏导

数，则它们的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数，记作
2zz

2f