2011考研数学冲刺班高等数学讲义.doc

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2010考研数学冲刺班高等数学讲义

主讲：汪诚义

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第一章函数、极限、连续
§1.1函数
一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)
1.
口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。
2.在(a,b)内，若，则单调增加
若，则单调减少
口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负
例1求
解是奇函数，∵是奇函数，
∵

因此是奇函数。
于是。
例2设，则下列结论正确的是
(A)若为奇函数，则为偶函数。
(B)若为偶函数，则为奇函数。
(C)若为周期函数，则为周期函数。
(D)若为单调函数，则为单调函数。
解(B)不成立，反例
(C)不成立，反例
(D)不成立，反例
(A)成立。
证明为奇函数，

所以，为偶函数。
例3设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是
(A)(B)
(C)(D)
解∵，∴单调减少
于是x<b，则有，故(A)成立。
二、有关复合函数
1.已知，求
2.已知和，求
例1、已知和
求
解：
例2、已知，且，求
解：令，则，因此

于是，

§1.2极限
一、有关无穷小量
1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量)；
2.等价无穷小代换；
3.无穷小的阶的比较。
例1求
解原式
例2设当x→0时(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比高阶的无穷小，则正整数n等于
(A)1(B)2
(C)3(D)4
解：

由题意可知，4>n+1>2，
∴n+1=3,n=2选(B)
例3设，则当x→0时，是的()
(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小
(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小
解
选(C)

二、有关两个准则
准则1单调有界数列极限一定存在。
准则2夹逼定理。
例1设，，证明存在，并求其值。
解∵，∴(几何平均值≤算术平均值)
用数学归纳法可知n>1时，，∴有界。
又当n>1时，

∴，则单调增加。
根据准则1，存在
把两边取极限，得(舍去)得，
∴。
口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；
两边极限一起上；方程之中把值找。
例2求。
解令，
则0<xn<yn，于是
由夹逼定理可知，于是原极限为0。
三、有关两个重要公式
公式1、
公式2、

例1求。
解当x=0时，原式=1
当x≠0时，原式=
=
=(∵)
例2设在内可导，且，，求c的值。
解
则拉格朗日中值定理，有

其中ξ介于(x-1)与x之间，那么

于是，e2c=e,2c=1，则
口诀(4)：函数之差化导数；拉氏定理显神通。
四、用洛必达法则求极限
洛必达法则主要处理七种待定型极限：“”型，“”型，“0·∞”型，“∞-∞”型，
“1∞”型，“00”型和“∞0”型
口诀(5)：待定极限七类型，分层处理洛必达。
第一层次：直接用洛必达法则
“”型用洛必达法则Ⅰ
“”型用洛必达法则Ⅱ
第二层次：间接用洛必达法则
“0·∞”型例变为“”型
“∞-∞”型例变为“”型
第三层次：间接再间接用洛必达法则
“1∞”型，“00”型，“∞0”型均为形式
而称为冪指函数，比较复杂。
口诀(6)：冪指函数最复杂；指数、对数一起上。

而上面三种类型化为
这时一定是“0·∞”型
再用第二层次的方法处理即可
例

例1求。
解原式=
=
=
=
=
=
=
例2设函数连续，且，求
解原式=(分母令
=(用积分中值定理)
=(ξ在0和x之间)
=.
口诀(7)：变限积分是函数；遇到之后先求导。
公式：(当连续时)
例3高a>0,b>0常数，求
解先考虑它是“”型。
令

因此，
于是，。
口诀(8)离散数列“洛必达”；先要转化连续型。
五、求分段函数的极限
例求。
解

∴
口诀(9)：分段函数分段点；左右运算要先行。
六用导数定义求极限
例设曲线与在原点相切，求
解由题设可知，
于是
七用定积分定义求极限
公式：(连续)
例1求。
分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑

而，
由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。
解
=
例2求。
解∵
而

由夹逼定理可知，
口诀(10)：数列极限逢绝境；转化积分见光明。

八、求极限的反问题
例1设，求a和b.
解由题设可知，∴1+a+b=0
再对极限用洛必达法则

例2、设在(0，+∞)内可导，>0，
且满足，求

解：先用冪指函数处理方法

再用导数定义
取，
于是
这样
所以

再由，可知C=1，则
§1.3连续
一、连续与间断
例1设，在内有定义，为连续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点为
(A)(B)
(C)(D)
解：(A)，(B)，(C)不成立可用反例，,(D)