中考数学压轴题合集.doc

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□小郎录题

一、函数与几何综合的压轴题
1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)
求证：E点在y轴上；
如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.
如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
图②
C（1+k，-3）
A
（2，-6）
B
D
O
x
E′
y
C（1，-3）
A
（2，-6）
B
D
O
x
E
y

图①

[解]（1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC
∴
又∵DO′+BO′=DB
∴
∵AB=6，DC=3，∴EO′=2
又∵，∴
∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上
方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①
再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2②
联立①②得
∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上
（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）
E（0，-2）三点，得方程组
解得a=-1,b=0,c=-2
∴抛物线方程y=-x2-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）
由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。
同（1）可得：得：E′F=2
方法一：又∵E′F∥AB，∴
S△AE′C=S△ADC-S△E′DC=
==DB=3+k
S=3+k为所求函数解析式
方法二：∵BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA
∴S△AE′C=S△BDE′
∴S=3+k为所求函数解析式.
证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2
同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4
∴
∴S=3+k为所求函数解析式.
2.（2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.
（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若，抛物线
y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式.
[解]（1）解：由已知AM＝，OM＝1，
在Rt△AOM中，AO＝，
∴点A的坐标为A（0，1）
（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1∴y＝x＋1
令y＝0则x＝－1∴B（—1，0），
AB＝
在△ABM中，AB＝，AM＝，BM＝2

∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°
∴直线AB是⊙M的切线
（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，
∴BC＝
∵∠BAC＝90°∴△ABC的外接圆的直径为BC，
A
B
C
D
x
M
·
y
∴
而
，
设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：
y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5
∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5
解法二：（接上）求得∴h＝5
由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5
又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0，a＝±5
∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5
解法三：（接上）求得∴h＝5
因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
由已知得
∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.

3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线过点A、B，且顶点C在⊙P上.
(1)求⊙P上劣弧的长；
(2)求抛物线的解析式；
A
B
C
O
x
y
·
P（1，－1）
(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
[解]（1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.

在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,
∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°
A
B
C
O
x
y
P（1，－1）
·
M

的长＝
（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝.
又OM=1，∴A（1－，0），B（1＋，0），
由抛物线及圆