2011新东方考研数学高等数学强化课程讲义全.doc

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2011考研强化班高等数学讲义

主讲：汪诚义

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第一章函数、极限、连续

§1.1函数
(甲) 内容要点
一、函数的概念
1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 4．隐函数
二、基本初等函数的概念、性质和图象
三、复合函数与初等函数
四、考研数学中常出现的非初等函数

1．用极限表示的函数
(1),例
(2)，例
2．用变上、下限积分表示的函数
(1) 其中连续，则
(2) 其中可导，连续，
则
五、函数的几种性质
有界性：设函数在X内有定义，若存在正数M，使都有，则称在X上是有界的。
奇偶性：设区间X关于原点对称，若对，都有，则称在X上是奇函数。
若对，都有，则称在X上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图像关于轴对称。重要公式
单调性：设在X上有定义，若对任意，都有则称在X上是单调增加的[单调减少的]；若对任意，都有，则称在X上是单调不减[单调不增]
（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）
若在内，
周期性：设在X上有定义，如果存在常数，使得任意，，都有，则称是周期函数，称T为的周期。
由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。
例
(乙)典型例题
一、定义域与值域
例1设的定义域为（）求的定义域
解：要求，则，
当时，，，则
当时，，
也即或
例2求并求它的反函数。
解：，，，
，，，
，，，
所以的值域为
反函数

二、求复合函数有关表达式
例1设，求

解：，
若，则
根据数学归纳法可知，对正整数，
例2已知，且，求
解：令，，因此，

，∴

三、有关四种性质
例1设，则下列结论正确的是[]
（A）若为奇函数，则为偶函数
（B）若为偶函数，则为奇函数
（C）若为周期函数，则为周期函数
（D）若为单调函数，则为单调函数
例2求
解是奇函数，
是奇函数，

因此是奇函数
于是
例3设是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是 []
（A） （B）
（C） （D）

思考题：两个周期函数之和是否为周期函数
例1．
例2．
四、函数方程
例1．设在上可导，，反函数为，且，求。
解：两边对求导得，于是，故，，由，得，则。

例2设满足，求
解：令，则
，
，
，
……
，
各式相加，得
，∴

因此，于是
或（k为整数）

思考题
设均为常数，求方程
的一个解。

§1.2极限
(甲) 内容要点
一、极限的概念与基本性质
1．极限的概念
(1)数列的极限
(2)函数的极限；；
；；

2．极限的基本性质
定理1（极限的唯一性）设，，则A=B
定理2（极限的不等式性质）设，
若变化一定以后，总有，则
反之，，则变化一定以后，有（注：当，情形也称为极限的保号性）
定理3（极限的局部有界性）设
则当变化一定以后，是有界的。
定理4设，
则（1）
（2）
（3）
（4）
（5）

二、无穷小量
1．无穷小量定义：若，则称为无穷小（注：无穷小与的变化过程有关，，当时为无穷小，而或其它时，不是无穷小）
2．无穷大量定义：任给M>0，当变化一定以后，总有，则称为无穷大，记以。
3．无穷小量与无穷大量的关系：在的同一个变化过程中，
若为无穷大量，则为无穷小量，
若为无穷小量，且，则为无穷大量。
4．无穷小量与极限的关系：
，其中
5．两个无穷小量的比较
设，，且
（1），称是比高阶的无穷小量，记以
称是比低阶的无穷小量
（2），称与是同阶无穷小量。
（3），称与是等阶无穷小量，记以
6．常见的等价无穷小量，当时
，，，，，，，。
7．无穷小量的重要性质
有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。

三、求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
准则1：单调有界数列极限一定存在
若（为正整数）又（为正整数），则存在，且
若（为正整数）又（为正整数），则存在，且
准则2：夹逼定理
设。若，，则
3．两个重要公式
公式1：
公式2：；；
4．用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换
5．用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）
当时，
例：

6．洛必达法则
第一层次，直接用洛必达法则
法则1：（型）设（1）
（2）变化过程中，，皆存在
（3）（或）
则（或）
（注：如果不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量情形）
法则2：（型）设（1）
（2）变化过程中，，皆存在
（3）（或）
则（或）
第二层次，间接用洛必达法则型和型
例
第三层次：间接再间接用洛必达法则型、型、型

7．利用导数定义求极限
基本公式：[如果存在]
8．利用定积分定义求极限
基本公式 [如果