2012海文高数赵达夫强化班讲义.doc

高等数学强化讲义
一函数极限连续
§1函数
一函数的基本概念
是一个非空实数集合，设有一个对应规则，使每一个，都有一个确定的实数与之对应，则称这个对应规则为定义在上的一个函数关系，或称变量是变量的函数，记作.
二函数的基本性态
1奇偶性
(1)定义：偶；奇。
(2)导函数：奇导偶，偶导奇.
(3)原函数：奇原偶,偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数,其中

2有界性
(1)定义：,，有.
(2)无界：,，有.
(3)无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；
无穷的本质是任意的子列趋向无穷。
(4)常见有界的判定：设在连续,则在有界.
设在连续,且存在,则在有界.

3周期性
(1)定义：
(2)导函数：导函数还是周期函数并且周期相同
注：周期函数的原函数不一定为周期函数。

4单调性
(1)定义：递增(递减)当时，均有
(2)导函数：单增(减)；单增(减).
题型一无界与无穷的判定
例1设
（A）偶函数（B）有界函数
（C）周期函数（D）单调函数.

例2当时，变量是（）
（A）无穷小 （B）无穷大
（C）有界的，但不是无穷小量 （D）无界的，但不是无穷大

题型二函数性态的判定
例3设是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是()
（A）（B）
（C）（D）根据上面条件无法判断

例4设函数具有二阶导数，并满足且若则（）
(A)(B)
(C)(D)

练习：设在内可导，且对任意，当时，都有
，则()
（A）对任意（B）对任意
（C）函数单调增加（D）函数单调增加.

例5设函数在下列哪个区间内有界()
A(-1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)

三各种其他的函数
1分段函数：函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达
2复合函数：与复合而成的复合函数,为中间变量.
3反函数、隐函数
(1)原来的函数为,若把作为自变量，作为因变量，便得一个函数，且，称为的反函数.
(2)隐函数:.
4初等函数
(1)基本初等函数：常数，幂，指数，对数，三角，反三角.
(2)由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数，称为初等函数.

题型三分段函数的复合
方法：各种情形分别讨论.
例6设,，试求.

§2极限
一极限的概念
1数列极限：对于当时有.
2函数的极限
(1)(自变量趋向于有限值的情形)
(a)，，当时，
有.
(b)(左极限).
(右极限).
(c).
(2)(自变量趋向于无穷大的情形)
(a)，，当时，
有.
(b).
.
(c).
(3)常见有不同极限的函数：分段函数、
二极限的性质
1有界性：有界；
有界
2有理运算性质：
(1)若,,则(a)
(b)(c).
(2)推广：加减法只要其中的一个极限存在，乘除法只要其中一个极限存在且不为0，上述运算法则就成立.
(3)延伸：若，则
(a)(b).
例设，求和.

3保号性：当有

三极限的两个存在准则
(1)单调有界定理:若数列单调且有界,则有极限.
(2)夹逼准则:设在的领域内恒有,且
,则.

四无穷小和无穷大
1无穷大量:若,称为的无穷大量.
正无穷：；负无穷：.
2无穷小量：若,称是时的无穷小量。
(1)设、都是时的无穷小量,若且，
(a)，称是比高阶的无穷小，记以,
(b)，称与是同阶无穷小。
(c)，称与是等阶无穷小，记以.
(2)若为无穷小,且,称的阶无穷小.
(3)无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小;
有限个无穷小的和(乘积)仍然为无穷小.
(4)等价无穷小的作用:若,则.
(5)如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理.
3无穷小和无穷大关系:非零无穷小的倒数为无穷大;
无穷大的倒数为无穷小.

题型一：极限概念、性质和存在准则的讨论
核心点：相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形
例1设对有且,则()
A存在且为0B存在但不一定为0
C一定不存在D不一定存在

例2设数列与满足,则下面断言正确的是()
A若发散，则必发散，B若无界，则必有界
C若有界，则必为无穷小D若为无穷小，则必为无穷小

例3设均为非负数列,且,，,则()
AB
C不存在D不存在

例4设函数在内单调有界,为数列,下面命题正确的是()
A若收敛，则必收敛B若单调，则必收敛
C若收敛，则收敛D若单调，则收敛

题型二求函数的极限
步骤1：四则运算和等价无穷小
注1：四则运算特别要注意左右极限不同的情形.
注2：常见的等价无穷小当时，，，，
，，，，
当时,.
例5求极限.

例6若是等价无穷小，则

例7.

例8求

求

例10求

例11求

例12设,求

步骤2：恒等变形
(1).含