系统班线性代数讲义(2011年GCT讲义).pdf

备战2011年GCT考试系统精讲班·数学讲义（一）线性代数

第一讲行列式
一.行列式的定义

l一阶行列式定义为a11=a11

a11a12
l二阶行列式定义为=a11a22-a12a21
a21a22

l在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行第j列，剩余元素构成n-1阶行列式，称为元素aij

的余子式，记作Mij．

i+j
l令Aij=(-1)Mij，称Aij为aij的代数余子式．

ln阶行列式定义为

a11a12La1n

a21a22a2n
L．
=a11A11+a12A12+L+a1nA1n
LLLL
an1an2Lann

二.行列式的性质

1.行列式中行列互换，其值不变．（转置性质）

a11a12a13a11a21a31

a21a22a23=a12a22a32

a31a32a33a13a23a33
2.行列式中两行对换，其值变号．（交换性质）

a11a12a13a21a22a23

a21a22a23=–a11a12a13

a31a32a33a31a32a33
3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外．（倍乘性质）．

a11a12a13a11a12a13

ka21ka22ka23=ka21a22a23

a31a32a33a31a32a33
4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和．
（分项性质）

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a11a12a13a11a12a13a11a12a13

a21+b21a22+b22a23+b23=a21a22a23+b21b22b23

a31a32a33a31a32a33a31a32a33

由以上四条性质，还能推出下面几条性质

5.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为０．（值为0性质）
6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为０．（值为0性质）
7.行列式中如果有一行元素全为０，则行列式的值为０．（值为0性质）
8.行列式中某行元素的k倍加到另一行，其值不变．（倍加性质）

a11a12a13a11a12a13

a21a22a23=a21a22a23

a31a32a33a31+ka11a32+ka12a33+ka13
l注意：其中性质2（交换）；性质3（倍乘）；性质8.（倍加）用得很多，要记清楚。

三.n阶行列式展开性质

a11a12La1n
aaa
D=2122L2n
LLLL
an1an2Lann

等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+L+ainAini=1,2,L,n

l按列展开定理

D=a1jA1j+a2jA2j+L+anjAnjj=1,2,L,n
ln阶行列式D的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零．即

ai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn=0i¹j

l按列展开的性质

a1iA1j+a2iA2j+L+aniAnj=0i¹j
四.特殊行列式

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a11a1n
n(n-1)
a22a2n-1
l;2
=a11a22Lann=(-1)a1na2n-1an1
ON

annan1
l上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同：

a11a12La1na11a12La1n
n(n-1)
a22La2na21La2n-1
2
=a11a22Lann=(-1)a1na2n-1an1
OMN

annan1

五.计算行列式
l消零降阶法.
l消为特殊行列式：（上（下）三角行列式或和对角行列式）..

典型习题
x23

1.D3=3x1=（）。
21x

A.-x3-13x+13B.x3+13x+13

C.x3-13x+13D.x3-13x-13(C)

1a-2

2.设835的代数余子式A21=4，则a==（）
-146

A－2B－1C-１D２（Ａ）

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2-1x2x
11x-1
3.中x4的系数是（）
0x20
x0-1-x
A－2B－1C１D２（Ｄ）

x1x1
01x1
4.的常数项为（）．
1x10
101x
A4B2C１D