向量复习讲义.doc

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向量
平面向量加、减、实数与向量积
（一）基本知识点提示
1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜(试问：取等号的条件是什么?)；
向量形式的平行四边形定理：2（｜｜+｜｜）=｜－｜+｜+｜
5、实数与向量的乘法（即数乘的意义）
实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：
(1)｜λ｜=｜λ｜·｜｜;
(2)当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.
6、共线向量定理的应用：若≠，则∥存在唯一实数对λ使得=λxy-xy=0(其中=（x，y），=（x，y）)
（二）典型例题
例1、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
则P的轨迹一定通过△ABC的 （）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：是在∠BAC的平分线上，∴选B
例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜
证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜
(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与、相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
（三）巩固练习
1、已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若++=，则O是△ABC的（）
（A）重心（B）垂心（C）内心（D）外心
2、下列5个命题中正确的是
①对于实数p,q和向量,若p=q则p=q②对于向量与，若||=||则=③对于两个单位向量与，若|+|=2则=④对于两个单位向量与，若k=，则=⑤在△ABC中，若点P满足；=则直线AP必经过△ABC的内心
3、已知与方向相同，且||=3，||=7，则|2－|=
4、设非零向量与满足||=||=|+|，则与+的夹角是
5、求函数f(x)=的最大值
答案：（1）A（2）②③⑤（3）1（4）（5）
向量的坐标运算及应用
（一）基本知识回顾
1、向量的坐标概念和坐标表示法
2、向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）
3、线段的定比分点概念及定比分点坐标公式
4、图形的平移概念及平移变换公式
例3已知点A(x,5)，B(-2,y)，直线AB上的点C(1,1)，使|AC|=2|BC|,求向量按向量=(1,1)平移的向量坐标.
解法1：（坐标运算法）∵|AC|=2|BC|，且A、B、C共线，∴=±2，(1,1)－(X,5)=±2[(1,1)－(-2,y)],x=7,y=-1;x=-5,y=3;
解法2：用线段的定比分点公式法，∵=2∴点C分所成的比为2；∵=－2∴点C分所成的比为－2；再用定比分点坐标公式可求出点A、点B的坐标。
平移后向量的坐标为(-9,-6),(3,-2)
例4已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，
且||=2，||=1，||=3，用与表示
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中,是单位正交基底向量,则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是=－,=，=-3所以-3=3+|即=3－3
巩固练习
已知函数f(x)的图象沿直线y=-x向下平移2个单位得到函数y=lgx的图象，则f(x)=

2、(10)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中，且则点C的轨迹方程为（D）
（A）（B）（C）（D）
3、已知=（6，2）与=（-4，），直线l过点A(3,-1)且与向量+2垂直，则直线l的一般方程是
4、已知=(5,4)与=(3,2)，则与2－3平行的单位向量为
5、已知=(-5,3)与=(-1,2)，且λ+与2+互相垂直，则实数λ的值等于
答案：1、f(x)=lg(x+2)+2;2,D3,2x-3y-9=04,±(,)5,－
例5、（03年全国高考18．（本小题满分12分））
如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G
(I)求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
(II)求点到平面AED的距离
（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的