半参数回归模型的异方差统计分析.pdf

应用概率统计第二十卷ChineseJournalofAppliedProbability
第一期2004年2月andStatisticsVo1．20No．1Feb．2004

半参数回归模型的异方差统计分析木

冉昊朱仲义
(华东师范大学统计系，上海，200062)

摘要
在回归分析中，方差齐性的假设是一个普遍关心的问题．在参数和非参数回归模型中，关于异方差检验问题已经
有很多的研究，见([II，【4】，【7】)．本文研究了半参数回归模型的异方差检验问题，得到了方差齐性检验的SCORE统
计量，证明了该统计量的渐近x性质，最后给出计算机模拟和实际例子，推广和发展了Eubank和Thomas(1993)，
韦博成(1995)的工作．
关键词：异方差，半参数回归，Score检验．
学科分类号：O212．1．

§1．引言

考虑如下半参数回归模型
Yi=+9(ti)+Ci，i=1，⋯，扎，(1．1)
其中{l，ti)为解释变量，Xi∈Rp，ti满足0tl<⋯<t1，Ci独立，并且服从正态分布，E(ci)=0，
Var(岛)=W／a。，g(t1)∈={，：，(J)绝对连续，=0，1，⋯，m一1，并且，()平方可积)的未知函数，
为P维未知参数．本文只考虑m=2的情况．
如果=1，i=1，⋯，扎，则估计，g(t)是通过最小化

n-1(玑一一g())。+厂(g(m’())。d(1．2)
扛：1．，0

得到的．如果存在i使得≠1即模型(1．1)出现异方差，采用(1．2)式得到的，g(t)的估计就不再渐近有
效．
半参数回归模型(1．1)是一类非常广泛的统计模型．I-Ieckman(1986)对模型(1．1)提出了光滑样条的估计
方法，并得到了估计的相合性和渐近正态性．Speckman(1988)对模型(1．1)提出了核与最小二乘估计方法，
并研究了估计的渐近性质．对上述模型研究的还有Eubank(1988)，Green＆Sliverman(1994)等．
上述文献主要假定，Var(Ci)=，i=1，⋯，扎．即随机误差具有齐次性的条件下，研究了模型(1．1)．而
在回归分析中，随机误差是否存在方差非齐性是理论和应用工作者十分关心的问题．对于线性回归，Cook＆
Weisberg(1983)研究了方差非齐性的score检验，得到了很好的结果．韦博成(1995)把Cook＆Weisberg(1983)
的结果推广到了非线性回归．Eubank＆Thomas(1993)研究了非参数回归模型的异方差检验．本文主要在上
述文献的基础上研究关于模型(1．1)的异方差检验，得到了Score检验函数并给出了它的大样本性质，进一步
推广和发展了【1¨4】，【7】的工作．
以下引入本文所讨论的问题，以及若干必要的记号和公式．
在模型(1．1)中通常假定与某一个协变量和某一q维未知参数Q有关，

=(Q，)，(1．3)

w(·，·)为已知函数，并假设存在唯一OLO使得对一切i都有W(c~o，Zi)=1．因此模型(1．1)异方差的检验问题
等价于以下假设检验问题：
Ho：Q=Q0VSH1：Q≠Qo．(1．4)

国家自然科学基金资助项目(10371042)和上海科委重点资助项目(02DJ14063)。
本文2002年5月29日收到，2003年5月20日收到修改稿．

应用概率统计第二十卷

显然，如果原假设成立，那么模型具有方差齐性，不然则具有异方差性．若一N(0，0-2)，则由Green＆
Sliverman(1994)，模型(1．1)的惩罚对数似然函数为

，,％0-2)=一耋-ogW(Q一i-1一nA7T∽-一(1．5)

其中，y=(9(ti))1，是与设计点ti有关的矩阵，使得存在关系

，1
7T，y=／(9((t))dt．
J0

本文得到的一系列结果就是对半参数模型的惩罚对数似然函数考虑得到的．
令0=(Ot，，，y，0-2)，Y=(暑，1，⋯，暑，rI)，X=(。1，⋯，rI)T，另夕卜设u(x，t)=+，y，由Green＆Silver—
man(1994)，存在矩阵Hx使声(，t)=+=HxY，其中节为在Q=Qo时，最大化(1．5)式所得的估
计．

§2．Score检验统计量

对于检验问题(1．4)，我们可以得到如下定理
定理1记龟=一一(ti)，是通过最小化(1．2)得到的估计，设为(辞／)n×1，=∑舒／n，
AAA
设D=[ow(a，z~)／oaT】I。：。。=(D巧)n×口，一D=(一11T／礼)D，为礼阶单位矩阵．1=(1⋯1)T1．则假设船站
、I●●●／
检验(1．4)的SCORE统计量可表示为

SC=三T-)一1-DTu．(2．1)
证明：由文[5】，假设检验(1．4)的SCORE检验统计量可表示为