概率论与数理统计 知识点总复习.doc

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随机事件和概率
第一节基本概念

1、排列组合初步
（1）排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。
(4)一些常见排列
特殊排列
相邻
彼此隔开
顺序一定和不可分辨
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件
顺序问题
2、随机试验、随机事件及其运算
（1）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。
（2）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：，
3、概率的定义和性质
（1）概率的公理化定义
设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1°0≤P(A)≤1，
2°P(Ω)=1
3°对于两两互不相容的事件，，…有

常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件的概率。

（2）古典概型（等可能概型）
1°，
2°。
设任一事件，它是由组成的，则有
P(A)==

4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）
（1）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（2）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P()=1-P(B)
（3）条件概率和乘法公式
定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
…………。
（4）全概公式
设事件满足
1°两两互不相容，，
2°，
则有
。
此公式即为全概率公式。
（5）贝叶斯公式
设事件，，…，及满足
1°，，…，两两互不相容，>0，1，2，…，，
2°，，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，（，，…，），通常叫先验概率。，（，，…，），通常称为后验概率。如果我们把当作观察的“结果”，而，，…，理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
5、事件的独立性和伯努利试验
（1）两个事件的独立性
设事件、满足，则称事件、是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。
若事件、相互独立，且，则有

所以这与我们所理解的独立性是一致的。
若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。（证明）
由定义，我们可知必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。（证明）
同时，Ø与任何事件都互斥。

（2）多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
两两互斥→互相互斥。
两两独立→互相独立？
（3）伯努利试验
定义我们作了次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，
，。

随机变