浙江工商大学06-07(一)章乃器学院微积分(上)试卷解答.doc

浙江工商大学《微积分》课程考试试卷适用专业：混合0601,02,03；金融0601,02

第页共NUMPAGES6页
章乃器学院06/07学年第一学期微积分(上)试卷解答
一、填空题(分)
1.设,,且,则=.
解由得,又,所以,.
2.=.
解原式==.
3.已知,则=.
解由=
=.
得===.
4.设函数在点处变化量的线性主要部分是,且,则=
.
解由题设知,即.
两边积分得,,即,
由得.所以,.
.
5.在上满足罗尔定理的=.
解令,,得.取.
6.若,且,则=.
解,
.
7.=时,在处取到极值.
解由,得.又
,
在处取得极大值.
8.设生产函数为,其中为产出量,为劳动投入,为资本投入,而,,,均为大于零的常数,则当时,相对于的弹性为.
解,即.两边对求导,得
,
解得,
.
9.设,则=.
解,,,
,,

一般地,有,

10.已知有无穷型间断点,可去间断点,则=,=.
解由是的无穷间断点知或,且,由是的可去间断点知或,且.所以,,.
二、单项选择(分)
1.当时,,则().
(), (),
(), (),
解====,
,.
2.设,为恒大于零的可导函数,且,则当时,有().
() ()
() ()
解设,则
,
在上单调递减,故有即.
3.设,,则().
()为导函数的极大值
()为函数的极小值
()为函数的极大值
()为曲线的拐点
解,
,当时,有.
由此可见,在的两侧变号,故为曲线的拐点.
函数()是函数的原函数.
() ()
() ()
5.曲线有()条渐近线.
() () () ()
解,
是的一条水平渐近线.
,
是的一条垂直渐近线.
三、计算题(分)
1.求.
解原式=====.
2.求.
解原式=
=
=
=
=
===.
3.设由方程所确定,求,.
解方程两边对求导,得
,(*)
将代入原方程得.再将,代入(*)式得.
(*)式两边对求导,得
,(**)
将,,代入(**)式得.
4.设,求此曲线在处的切线方程.
解当时,.
=,
,
所求切线方程为即.
5.求函数在区间内的间断点,并判断其类型.
解当()时,无定义,所以,()是的间断点.
,.
,.
,是的第二类间断点.
,.
,是的第一类可去间断点.
6.求()的极值.
解,
令得驻点.
当时,,当时,.
所以,是的极大值点,极大值为.
7.计算不定积分.
解原式=
====.
8.计算不定积分.
解原式=
=
=
=.
四、应用题(分)
1．设某商品销售单价为元,生产中可变成本为每单位元,又因产量与广告费之间的关系为,且生产的产品经广告宣传后全部销售,求产品利润最大时的最优广告投入.
解总收入,总成本,
总利润,
令得惟一驻点.
根据问题的实际意义知,当产量时利润最大,此时的最优广告投入为元.
2.设时,方程仅有一个解,求满足条件的常数的取值范围.
解设,.
若,则在时有惟一解.
若,因为在连续,又
,.
由零点定理知在时至少有一解.又
,
在时单调递减,
在时有惟一解.
若,
令得驻点.又当时,,当时,
.所以,是的极小值,亦即最小值.又
,.
当即时,在时有惟一解.
综上,当或时,仅有一个解.
五、证明题(6分)
设在内二阶可导,且有,,,.证明:在内存在唯一的零点.
证由知在上单调递增,所以,,使.
当时,由拉格朗日中值定理知,,使得,
由得,故必使得.
由零点定理,在内,至少有一零点.
因为在上单调递增,所以,当时,,即在内,单调递增,故在内至多有一零点.
综上可知,在只有一个零点.