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详解图的应用（最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径）

1.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树

1.1问题背景：

假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，

如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济

代价。n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费

最少呢?

1.2分析问题（建立模型）：

可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的

线路，赋于边的权值表示相应的代价。对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是

一个通信网。即无向连通图的生成树不是唯一的。连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构

成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。

图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：

G5

G5的三棵生成树：

可以证明，对于有n个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1条边。

1.3最小生成树的定义：

如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最

小生成树，简称为最小生成树。

最小生成树的性质：

假设N=(V,{E})是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其

中，

则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。

1.4解决方案：

两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。他们都利用了最小生成树的性质

1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。时间复杂度O(N^2)

假设G＝（V，E）为连通图，其中V为网图中所有顶点的集合，E为网图中所有带权边的集合。设置两个新的集

合U和T，其中

集合U（顶点集）用于存放G的最小生成树中的顶点，

集合T（边集合）存放G的最小生成树中的边。

T，U的初始状态：令集合U的初值为U＝{u1}（假设构造最小生成树时，从顶点u1出发），集合T的初值为T

＝{}。
Prim算法的思想是：从所有u∈U，v∈V－U的边中，选取具有最小权值的边（u，v）∈E，将顶点v加入集合U

中，将边（u，v）加入集合T中，如此不断重复，直到U＝V时，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最

小生成树的所有边。

Prim算法可用下述过程描述，其中用wuv表示顶点u与顶点v边上的权值。

（1）U＝{u1},T={};

（2）while(U≠V)do

(u，v)＝min{wuv；u∈U，v∈V－U}

T＝T＋{(u，v)}

U＝U＋{v}

（3）结束。

按照Prim方法，从顶点1出发，该网的最小生成树的产生过程如图：

为实现Prim算法，需设置两个辅助closedge，用来保存U到集合V－U的各个顶点中具有最小权值的边的权值。

对每个Vi∈（V-U）在辅助数组中存在一个相应的分量closedge[i-1],它包括两个域：

typedefstructArcNode

{
intadjvex;//adjex域存储该边依附的在U中的顶点

VrTypelowcost;//lowcost域存储该边上的权重

}closedge[MAX_VERTEX_NUM];

显然：

初始状态时，U＝{v1}(u1为出发的顶点),则到V-U中各项中最小的边，即依附顶点v1的各条边中，找到一条代价

最小的边（u0，v0）=（1，3）为生成树上一条边。

同时将v0（=v3）并入集合U中。然后修改辅助数组的值。

1）将closedge[2].lowcost=0；//表示顶点V3三已经并入U

2)由于边（v2,v3）的权值小于closedge[1].lowcost，故需修改closedge[1]为边（v2,v3）及其权值，同理修改cl

osedge[4]，closedge[5].

closedge[1].adjvex=3.

closedge[1].lowcost=5.

closedge[4].adjvex=1.

closedge[4].lowcost=5.

closedge[5].adjvex=3.

closedge[5].lowcost=6.

以此类推，直至U=V;

下图给出了在用上述算法构造网图7.16的最小生成树的过程中：

Prim算法实现：

按照算法框架:

（1）U＝{u1},T={}