全国名校高考专题训练12导数与极限.doc

全国名校高考专题训练12导数与极限(解答题2)
26、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知函数．
（Ⅰ）若在上是减函数，求的取值范围；
（Ⅱ）函数是否既有极大值又有极小值？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）=…………1分
∵在上为减函数，∴时恒成立．……3分
即恒成立．设，则=．
∵时＞4，∴，∴在上递减，………5分
∴g()＞g()=3，∴≤3．………6分
（Ⅱ）若既有极大值又有极小值，则首先必须=0有两个不同正根，
即有两个不同正根。…………7分
令
∴当＞2时，=0有两个不等的正根…………10分
不妨设，由=－（）=－知：
时＜0，时＞0，时＜0，
∴当a＞2时既有极大值又有极小值．
27、设函数，其中。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明不等式：；
（Ⅲ）设的最小值为，证明不等式：；
解：（Ⅰ）由已知得函数的定义域为，且，
，解得……2分
当变化时，的变化情况如下表：
－0+↘极小值↗由上表可知,当时，，函数在内单调递减，…3分
当时，，函数在内单调递增，……4分
所以,函数的单调减区间是,函数的单调增区间是。…5分
（Ⅱ）设。
对求导，得：。……7分
当时，，所以在内是增函数。所以在上是增函数。
当时，，即。……8分
同理可证＜x。……9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，……11分
将代入，得:
即:1＜(a+1)，……13分
，即。
28、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
解：（1）求函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为：，
即 ．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．
记 ，则 ．
当变化时，变化情况如下表：
000
极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．
29、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)设函数
（1）求函数的极值点
（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围
（3）证明：
解：
在上无极值点
当时，令,随x的变化情况如下表：
x＋0－递增极大值递减从上表可以看出，当时，有唯一的极大值点
（2）解：当时，在处取得极大值
此极大值也是最大值。
要使恒成立，只需
的取值范围是
（3）证明：令p=1，由（2）知:

30、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为
⑴若方程有两个相等的实数根，求的解析式；
⑵若函数无极值，求实数的取值范围
解：⑴设，∵不等式的解集为
∴………①………②
又∵有两等根，
∴………③由①②③解得…………（5分）
又∵，∴，故.
∴……………………………………………（7分）
⑵由①②得，∴，
…………………………………………（9分）
∵无极值，∴方程
，解得
31、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知函数.
（Ⅰ）若、，求证：①；
②.
（Ⅱ）若，，其中，求证：
；
（Ⅲ）对于任意的、、，问：以的值为长的三条线段是否可构成三角形？请说明理由.
解：（Ⅰ）①要证：，
只需证：，
∵，则，
∴只需证：，即，
∵成立，∴成立.……………………………（4分）
②又∵,
由①得：，
且，
上述两式相加得：.………………………………（6分）
（Ⅱ）时显然成立，时，由（Ⅰ）得：
，，，……，.
各式相加得：………………………………………………（10分）
说明：直接用比较法证明的同样给分.
（Ⅲ）………（11分）
由得或，
∵，∴在上为增函数，
∴，，
∴恒成立，
∴以的值为长的三条线段一定能构成三角形
32、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线平行，导函数的最小值为
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值
解：（Ⅰ）∵为奇函数，∴
即 ∴…………………2分
∵的最小值为 ∴
又直线的斜率为 因此，
∴，，………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴，列表如下：
极大极小所以函数的单调增区间是和…………8分
∵，，
∴在上的最大值是，最小值是
33、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)设曲线处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S（t）.
（Ⅰ）求切线l的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值.
解：（Ⅰ）因为，所以切线l的斜率为…………2分
故切线l的方程为……5分
（Ⅱ）令y=0得…………7分
所以…………9分
从而…………10