长郡中学理实班自主招生考试数学试卷精选文档_图文.pdf

长郡中学理实班自主招
生考试数学试卷精选文
档

TTMSsystemofficeroom【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-

2015年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷

一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分．

1．（5分）方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

2．（5分）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到

+△
BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2h3﹣h1=6，那么等边ABC

的面积为（）

A．4B．8C．9D．12

3．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）

A．最小，a3最大B．最小，a最大

C．最小，a最大D．最小，最大

4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△

ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）

A．AE⊥AFB．EF：AF=：1C．AF2=FH?FED．FB：FC=HB：EC

5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点

F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边

形区域ADFE的面积等于（）

A．22B．24C．36D．44

6．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换

班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）

A．30B．35C．56D．448

二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分．

7．（5分）若4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=．

8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海里处有A、B两艘船相会之后，A

船以每小时12海里的速度往南航行，B船则以每小时3海里的速度向北漂

流．则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．

9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其

长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的抛物线对应的函数关系式

是．

10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，

小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于

cm．

11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE

的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时

针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐

标是．

12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，

在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的

两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依

此类推作出C4，C5，C6，…，则

（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；

（2）圆Ck的半径为（k为正整数，用a表示，不必证明）

三、解答题：本题有4个小题，共60分．

13．（12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与

AB的延长线相交于E点，OC∥AB．

（1）求证：AD=AE；

（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．

14．（14分）已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，

（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；

（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最

小．

15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：

胜一场平一场负一场
积分310
奖励（元/每人）15007000

当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．

（1）试判断A队胜、平、负各几场？

（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得

的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．

16．（18分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此

矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个

顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．

（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P

点．

①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；

②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的

交点Q是位于直线y=x﹣1的上方