集合复习与小结.doc

集合复习与小结
一、集合的含义与表示
1.集合与元素的概念
集合：指定的某些对象的全体，常用大写字母A、B、C、D……表示。
元素：集合中的每个对象，常用小写字母a、b、c、d……表示。
2.元素与集合的关系
若元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作；
若元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作。
3.常用数集及其记法
自然数集（非负整数集）：N正整数集：
整数集：Z有理数集：Q
实数集：R
4.集合中元素的特征
确定性：集合中的元素是否属于这个集合是确定的；
互异性：集合中的元素是互不相同的；
无序性：集合中的元素没有先后顺序。
5.集合的表示方法
列举法：把集合的元素一一例举出来，写在大括号内；
描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。
6.集合的分类（所含元素的多少）
有限集：含有有限个元素的集合；
无限集：含有无限个元素的集合；
空集：不含任何元素的集合，常用表示。
二、集合的基本关系
1.包含（子集）
（1）定义：一般地，对于两个集合A与B，若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若，则，就说集合A包含于集合B（记作），或集合B包含集合A（记作），这时就说集合A是集合B的子集。
（2）备注：①任何集合都是它本身的子集，即；
②集合的包含关系具有传递性，即若，，则；
③空集是任何集合的子集，即；
④若集合A中有n个元素，则集合A有个子集。
2.相等
（1）定义：一般地，对于两个集合A与B，若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时就说集合A与集合B相等，记作A=B。
（2）备注：①；
②若A=B，则集合A、B中元素个数必相等。
3.真包含（真子集）
（1）定义：一般地，对于集合A与B，若，且，就说集合A是集合B的真子集，记作或。
（2）备注：①集合的真包含关系具有传递性，即若，，则；
②空集是任何非空集合的真子集，即若，则；
③若集合A中有n个元素，则集合A有真个子集。
4.不包含
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作。
5.集合关系的几何表示
（1）数轴：规定了的原点、正方向和单位长度的直线。
（2）Venn图：用封闭的曲线表示集合的内部。
三、集合的基本运算
1.交集
（1）定义：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作，即。
（2）性质：①；
②；
③；
④，；
⑤。
2.并集
（1）定义：一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作，即。
（2）性质：①；
②；
③；
④，；
⑤；
⑥。
3.全集
在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定集合叫作全集，常用U表示。
4.补集
（1）定义：设U是全集，A是U的一个子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合叫作U中子集A的补集（余集），记作，即。
（2）性质：①，；
②，。