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导数在三次函数研究中的应用
四川省中江实验中学罗忠
（作者联系电话：[phone]邮编618100）
导数是高中数学新课程增加的内容，导数的引人为我们研究函数带来了方便，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由最初在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具.三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体，三次函数的问题涉及高中数学中较多的知识点和数学思想方法.近几年，很多省份的高考数学试卷中都出现了以三次函数为载体，通过研究其图象性质，从而来考查学生的创新能力和探究能力的试题.本人结合教学实践，就导数在三次函数中的应用及应用中的误区作初步的探讨.下面例析导数在三次函数研究中的应用。
例1、已知曲线y=x3―x，求经过点（1，0）的切线方程。
解：设切点为（x0，y0），则由y/=3x2－1，有斜率k=3x－1，
∴在（x0,y0）处的切线方程为y－y0=（3x－1）（x－x0），
又∵切点（x0,y0）在曲线上及点P（1，0）在切线上，
∴∴x0=1或x0=―∴k=2或∴经过（1，0）的切线方程为y=2x―2或y=。
评注：这类题学生经常犯的错误是把所给的点当成切点。此类题应注意区分“过P点的切线”与“以P点为切点的曲线的切线”。
例2、已知f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求f（2）的值。
解：由题意，f/（x）=3x2+2ax+b，则，
即，∴或
此时当时，f/（x）=3x2+8x－11=（x－1）（3x+11），当x＜1时，f/（x）＜0，x＞1时，f/（x）＞0，∴在x=1处有极值，
∴f（2）=18。
当时，f/（x）=3（x－1）2，显然在x=1处无极值，
综上，f（2）=18。
评注：某一点成为函数的极值点必须满足两个条件：（1）该点处的导数为零。（2）该点处左右两侧的导数值异号。极值点处导函数与x轴相交，要注意验证导数为0处左右的函数的单调性。
例3、若方程x3－3x－m=0有一个二重根，求m的值。
解：令y1=x3，y2=3x+m，则问题转化为已知直线y1=x3与曲线y2=3x+m相切，求m的值。
令切点为（x0,y0），则，解之或，
∴m=2或－2。
评注：研究方程注意与函数之间的关系。
例4、已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且
证明
若,求的取值范围。
解:
(1)由函数在处取得极大值,在处取得极小值，知，是的两个根，所以当时，为增函数，,由，得
（2）由已知，等价于即
此不等式表示的区域为平面aob上三条直线：
所围成的三角形的内部，其三个顶点分别为,,
在这三点的值以次为.
评注本题的新颖之处在于把函数的导数与线性规划有机结合。
总之，导数在新教材中的应用非常广泛，常利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等.导数是分析和解决问题的有效工具，能帮助我们加深对三次函数的性质和图象的理解与认识．在高中数学教学中应充分发挥导数在研究三次函数中的作用。