浅谈平面向量、数系的扩充与复数的引入.docx

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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)
(时间120分钟，总分值150分)

一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)
1．(2021·天津高考)i是虚数单位，eq\f(5i,2－i)＝ ()
A．1＋2iB．－1－2i
C．1－2iD．－1＋2i
解析：eq\f(5i,2－i)＝eq\f(5i(2＋i),(2－i)(2＋i))＝－1＋2i.
答案：D
2．向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，那么a与b()
A．垂直B．不垂直也不平行
C．平行且同向D．平行且反向
解析：向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，那么a与b垂直．
答案：A
3．(2021·利辛模拟)向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，假设(ma＋b)∥(a－2b)，那么实数m
()
A.eq\f(1,4)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),4)
解析：ma＋b＝m(2,3)＋(－1,2)＝(2m－1,3m＋2)，
a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)．
∵(ma＋b)∥(a－2b)
∴1－2m＝(3m＋2)×4.
∴m＝－eq\f(1,2).
答案：B
4．如图，＝a，＝b，＝3，用a，b表示，那么等于()

A．a＋eq\f(3,4)bB.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b
C.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b
解析：＝＋＝＋eq\f(3,4)
＝＋eq\f(3,4)(－)＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.
答案：B
5．假设在△ABC中，||＝3，||＝5，||＝4，那么|5＋|＝()
A．4eq\r(10)B．2eq\r(85)C．2eq\r(10)D.eq\r(190)
解析：根据三边边长易知△ABC为直角三角形．
cos〈，〉＝－eq\f(3,5).
∵|5＋|2＝
25||2＋||2＋10||·||cos〈，〉＝160.
∴|5＋|＝4eq\r(10).
答案：A
6．(2021·鞍山模拟)复数z＝1＋i，那么eq\f(z2－2z,z－1)等于()
A．2iB．－2iC．2D．－2
解析：eq\f(z2－2z,z－1)＝eq\f((1＋i)2－2(1＋i),1＋i－1)＝eq\f(2i－2－2i,i)＝2i.
答案：A
7．命题：“假设k1a＋k2b＝0，那么k1＝k2＝0〞是真命题，那么下面对a，b的判断正确
的是()
A．a与b一定共线B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直D．a与b中至少有一个为0
解析：假设a与b共线，由得k1a＝－k2b，如果a、b均为非零向量，与条件矛盾．如果a、b中至少有一个非零向量，明显的与矛盾，排除A、D.把k1a＋k2b＝0两边平方得a2＋b2＋2k1k2a·b＝0，因为k1＝k2＝0，所以a·b不一定等于0，排除C.
答案：B
8．假设平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3eq\r(5)，那么b的坐标为()
A．(3，－6)B．(－3,6)
C．(6，－3)D．(－6,3)
解析：由题意设b＝λa＝λ(－1,2)．
由|b|＝3eq\r(5)得λ2＝9.λ＝±3.
因为a与b的夹角是180°.所以λ＝－3.
答案：A
9．(2021·黄冈模拟)A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(1＋sinA,1＋cosA)，q＝(1＋sinB，－1－cosB)，那么p与q的夹角是()
A．锐角B．钝角C．直角D．不确定
解析：锐角△ABC中，sinA＞cosB＞0，sinB＞cosA＞0，
故有p·q＝(1＋sinA)(1＋sinB)－(1＋cosA)(1＋cosB)＞0，同时易知p与q方向不相同，故p与q的夹角是锐角．
答案：A
10．非零向量，和满足·＝0，且·＝eq\f(\r(2),2)，那么△ABC为()
A．等边三角形B．等腰非直角三角形
C．非等腰三角形D．等腰直角三角形
解析：、、均为单位向量．
由·＝0，得||＝||.
由·＝1×1×cosC＝eq\f(\r(2),2)，得C＝45°.
故三角形为等腰直角三角形．
答案：D
11．如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，
M，N是线段AB