研究性学习论文.doc

学生数学小论文

研究性学习：无理数的表示

新乡市二中王倩雯张建伟
辅导教师王欣强
研究性学习：无理数的表示

学习了实数我知道了现在数轴叫做实数轴，实数轴上的点和实数一一对应，即数轴任意一点都对应一个实数，而每一个实数也都可以表示成数轴上的一点。可是无理数是无限不循环小数啊，也能表示在数轴上吗？比如象，这样的无理数该如何表示呢？
课堂老师分小组引导我们根据勾股定理构造直角三角形，竟然做出长的线段(如图所示)，真的就用构造图形的方法精确地表示在数轴上了，真实奇妙，这样形如，a为正整数的无理数就可以用尺规都表示在数轴上了,可以松一口气了。

但是对于这样的数真的要做出9个直角三角形吗?小组开始又有了新的想法，是啊，如果真的画下去，数再大一点怎么办？那么还会有不同的构造方法吗？我拿起笔，开始新的尝试，立刻一个新的构造在小组中诞生，如图一次构造直角三角形就可以表示，那么其它形如，a为正整数的无理数呢？也会如此吗？大家更加兴趣昂然，，，…大家陆续有了新的发现,这些无理数也可以根据勾股定理一次构造表示，（一下这种构造一次直角三角形就可以表示的构造，我简称完美构造），但是还有好多无理数无法完美够造表达，还会有不同的构造方法吗？可以完美构造任何形如，a为正整数的无理数，带着这个问题，课后我们小组又开始了新的探索。
我先总结了完美构造表示，的关键，关键是根号下的数10能表示为两个整数的平方即：10=12+32，而13能表示为两个整数的平方即：13=22+32方，原理就是利用了勾股定理a2+b2=c2,那么显然只要能用两个正整数平方表示的数a,就一定可以完美构造，如果换个角度呢？a2=c2-b2能被两个整数的平方差表示的数,那么它的平方根，也应该能完美构造但是要成为直角三角形的直角边，是这样吗？
如图，都可以完美构造，都有哪些数可以这样表示呢？我列出1到25的平方表，然后相邻的平方相减恰好是，3，5，7，9，11，这不恰好是一列奇数吗？如果用字母表示这个过程就是（n+1）2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1(n取正整数)，这样不是恰好证明任何奇数都可以表示成两个正整数的平方差，这样任何（a为奇数）都可以如图完美构造表示了。如果不是连续两个数的平方又会怎么样呢？
（n+2）2-n2=n2+4n+4-n2=4（n+1）(n取正整数)，这个等式说明凡是4的倍数的数也可以这样完美构造表示如图，比如，经过验证对于（a为4的倍数）都可以如图构造表示。
如果两个大小差3、差4的正整数的平方差又能表示哪些数？我继续尝试（n+3）2-n2=6n+9(n取正整数)，因为6n+9一定为奇数前面已经解决不再考虑，
继续往下看（n+4）2-n2=8（n+2）(n取正整数)必为4的倍数，前面也已经解决不再考虑，那么往下还要继续验证吗？
在老师指导下我们成功证明（n+x）2-n2=x2+2xn(n取正整数，x为奇数)的结果x2+2xn一定为奇数，（n+y）2-n2=y2+2yn(n取正整数，x为奇数)的结果y2+2yn一定4的倍数，这个结果就说明了，利用两个正整数的平方差能表示的数只有奇数和4的倍数两种，再考虑能用两个正整数平方和表示的数，对于100以内的a,形如而不能完美构造表示的只有共18个数。
终于有所眉目了，通过分析从分类的角度看，根据勾股定理构造直角三角形表示无理数只有平方和与平方差两种情况，经过以上验证和证明，对于（a为100以内的整数）只有18个无理数不能用上述的方法通过一次构造表示，但是显然两次构造可以表示（a为正整数），那么这剩余的18个数又会有什么规律，会有什么奇妙之处呢？我会带着这个问题继续思考。
这次探索的过程让我有很多感悟，数学的神奇和美妙让我激动不已，数学图形的构造竟然和多项式的运算有着千丝万缕的必然联系，而这种对未知的探索的感受始终是激励我的动力。
教师点评：在课程改革的引领下，作为教师都把培养学生数学能力，数学素养，感悟数学思想作为核心目标，但是如何实现这个目标呢？在开放的教学理念下，我只是在课堂上把以前表示无理数的方法变成问题交给了学生，没想到竟然归纳出这么多发现，通过延伸到课外的探究，学生的收获应该更多，我惊叹智慧不是我们教出来的，放手给学生，应到学生用数学家的眼光看待问题，数学会更加精彩。