数值分析第二章学习小结.doc

第2章线性方程组的解法
--------学习小结
本章学习体会
本章主要学习的是线性方程组的解法。而我们则主要学习了高斯消去法、直接三角分解法以及迭代法三种方法。这三种方法的优缺点以及适用范围各有不同。
高斯消去法中，我们又学习了顺序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。顺序高斯消去法可以得到方程组的精确解，但要求系数矩阵的主对角线元素不为零，而且该方法的数值稳定性没有保证。但列主元素高斯消去法因为方程顺序的调整，其有较好的数值稳定性。
直接三角分解法中，我们主要学习了Doolitte分解法与Crout分解法。其思想主要是：令系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b的解，则引进Ly=b,Ux=y两个方程，以求X得解向量。这种方法计算量较小，但是条件苛刻，且不具有数值稳定性。
迭代法（逐次逼近法）是从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。该方法要求迭代收敛，而且只经过有限次迭代，减少了运算次数，但是该方法无法得到方程组的精确解。

二、本章知识梳理
针对解线性方程组，求解线性方程组的方法可分为两大类：直接法和迭代法，直接法（精确法）：指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算就能得到精确解。迭代法（逐次逼近法）：从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。
我们以前用的是克莱姆法则，对于计算机来说，这种方法运算量比较大，因此我们学习了几种减少运算次数的方法，有高斯消去法、直接三角分解法，同时针对病态方程组，也提出了几种不同的解法。
Gauss消去法
Gauss消去法由消元和回代两个过程组成，消元过程是指针对方程组的增广矩阵，做有限次初等行变化，使它系数矩阵变为上三角矩阵。

顺序Gauss消去法
消元过程：对于K=1,2,3…,n-1执行
如果,则算法失效，停止计算；否则转（2）
对于计算

回代过程：

综上：顺序Gauss消去法的数值稳定性是没有保证的。
列主元Gauss消去法
1.消元过程
对于K=1,2,3…,n-1执行
选行号，使得
交换与以及与所含的数值。
对于计算

回代过程：

经验证，列主元Gauss消元法有很好的数值稳定性。
直接三角分解法
三角分解法的思想：系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b的解，则引进Ly=b,Ux=y两个方程，以求X得解向量。
杜利特尔)分解
L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵
定理：矩阵A=有唯一的能进行Doolittle(杜利特尔)分解的充分必要条件是：A的前n-1个顺序主子式不等于0
（1）A的Doolitte分解的计算公式
对于k=1,2,…,n计算

解的计算公式：

（2）选主元的Doolitte分解法：
定理：若矩阵A非奇异，则存在置换矩阵Q，使得QA可做Doolitte分解，QA=LU，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。
只有矩阵A非奇异，则通过对A做适当的行变换就可以进行Doolitte分解，而不必要求A的前n-1个顺序主子式不为0.

进行选主元的Doolitte分解法具体算法如下：
1）做分解QA=LU
对于K=1,2，…，n执行
2）计算中间量

选行号ik,使得
,令Mk=il

若ik=k,则转下一步，否则交换与(t=1,2,…k-1)、与(t=k,k+1,…n)以及与所含的数值，转下一步
计算

3）求Qb
对于K=1,2，…，n-1执行
t=Mk
交换bk与bt所含的数值
4）求解Ly=Qb和Ux=y

克劳特)分解
L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵
推论：矩阵A=有唯一的能进行Crout(克劳特)分解
分解的充分必要条件是：A的前n-1个顺序主子式不等于0
A的Crout(克劳特)分解的计算公式
对于k=1,2,…n计算

解的计算公式：

三角分解法解带状线性方程组
定理：（1）A=是上半带宽为s，下半带宽为r的带状矩阵
（2）A的前n-1个顺序主子式均不为零
则A有唯一的Doolitte分解A=LU，其中L是下半带宽为r的单位下三角矩阵，U是上半带宽为s的上三角矩阵。
（1）作分解A=LU
对于k=1,2,…,n计算

（2）求解Ly=b,Ux=y

迭代法
迭代法（逐次逼近法）：从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。
迭代法的一般形式及其收敛性
（1）一般形式：
G为迭代矩阵
（2）向量顺序的收敛：（1）按坐标收敛；（2）按范数收敛。
（3）矩阵序列的收敛
（4）迭代公式的收敛性

1.向量序列的收敛（极