材料力学 轴向拉伸与压缩3.pdf

材材料料力力学学

工程力学教研室
§4拉（压）杆的变形.胡克定律`

杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形
横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
一、等直杆在轴向拉伸或压缩时的变形
1、纵向变形DL=L¢-L绝对变形
线应变:受力物体变形时，一点处沿
某一方向微小线段的相对变
形
当杆沿长度均匀变形时
DL
e=纵向线应变(无量纲)
L

当杆沿长度非均匀变形时
y
Dddd
CCxx
ex=lim=
Dx®0
OxDxdx
AAB
B
△x△δ
△xx
z
DL
e=实验表明：在材料的线弹性范围内，△L与外力F
L和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。

FL
\DL=NN胡克定律EA：拉抗（压）刚度
EA

当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后
分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。

FL
EA×DLDL=åNii
=i(EA)i
L在计算ΔL的L长度内，FN,E,A
均为常数。
FEA×DL
\s=N==eE
AAL

在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
2、横向变形
△b=b1－b

Db
e¢=横向线应变

b1b
b

e¢
n=泊松比
e
因e和e¢的符号总是相反的。故可知

e'=-ne

几种常用材料v的值可查表得到

二．变截面杆在轴向拉伸或压缩时的变形

微元法
微元法

如图示，截面尺寸沿轴线变化缓慢，且外力作用线与轴线重
合，我们在杆件中取出dx微段，由于dx非常微小。故
SddL
=2ÞS=2
S+Ldd-dF(x)×dx
112d(Dl)=N
dS+(L-x)æxöA(x)×E
=Þd=d1ç1-÷
d1S+LèS+Lø
从而，整个杆件的伸长为：

F(x)×dx
Dl=N
òlA(x)×E

三、等直杆在分布力系作用下的变形

如图，等直杆，外力为F，自重集度
为q，长度为L，容重为g弹性模量为E，Dl
容许应力为[s]求：伸长Dl。

微元法
F
FN(x)+dFN(x)

FN(x)
gAdxdx
Dl

xF(x)
gAxN

FF
[分析]此题与上面一题非常相似，由于自重的影响，杆内各横截

Fl
面的轴力不相等，故不能直接应用，Dl=N而必须从杆的长
EA

度为dx的微段出发，略去无穷小量dFN(x)，用公式，并利用积分求

得△L
作微段的受力分析如图所示，利用虎克定律可得微段dx的伸长
为：

F(x)×dx1æFö
D(dx)=N=ç+gx÷dx
EAEèAø

对上式两边按杆件长度进行积分，即可求得整个杆件的伸长量
为：

æWö
çF+÷L
l1æFöè2ø
Dl=ç+gx÷dx=
ò0EèAøEA
&&
图示为一端固定的橡胶板条，若在加力前在
例题板表面划条斜直线AB，那么加轴向拉力后
2.9
AB线所在位置是?（其中ab∥AB∥ce）

Bbe

a
Acd

ae.因各条纵向纤维的应变相等，所以上边纤维长，伸长量也大。
&&
例：图示直杆，其抗拉刚度为EA，试
例题
2.10求杆件的轴向变形△L，B点的位移
δB和C点的位移δC

FL
d=DL=
FBABEA

ABC
LLFL
dC=dB=
FEA
&&例题
2.11计算图示变截面杆的轴向变形
1­12­23­3
F
3Faa/2

llaa
22
2l已知：F=15kN，l=1m，a=20mm,
E=200GPa
F15kNDl
求：
N
x
解：作轴力图FN3=F=15kN
F=F=-2F=-30kN
­30kNN1N2

222
A1=A3=a=400mm,A2=200mml1=l3=0.5m,l2=1m

FN1l1FN2l2FN3l3
Dl=Dl1+Dl2+Dl3=++=LL
EA1EA2EA3
=-0.1875-0.75+0.0094=-0.844mm
&&例题
2.12计算图示变截面杆的轴向变形

已知：弹性模量E，下表面面积A0，
上表面面积A1，高L和载荷F
Ldx求：DL
解：
x1、内力分析
FN=F
F2、变形计算
Fdx
D(dx)=N
FL
\DL=ln(A/A)EA(x)
10LL
E(A1-A0)F
\DL=òD(dx)=òNdx
00EA(x)
gA-A
若考虑自重（自练）A(x)=A+10x
0L
&&
例题图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆，
B点受荷载P作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位
2.13
移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆
的抗拉刚度EA.
DL
1.已知εe=CDDL=ea
aCD

d=2DL=2ea
DBCD
FNCDa
F2.已知EADL=
NCDFaCDEA
AC刚杆
BF=2F
åmA=0NCD

C