四边形和平行四边形.doc

初二几何

第四章第一单元四边形和平行四边形

一.教法建议
【抛砖引玉】
在教学中强调四边形、多边形概念及内角和定理，同时要侧重一些数学方法上，如类比和扩展方法的使用，把复杂问题转化为简单问题，化未知为已知的思想方法要贯穿在教学的始终。
平行四边形的概念和性质是全章重点，一定要讲清楚，进而要抓住平行的判定理进行系统传授，归纳出五种判定方法，教学要理论联系实际，尽可能与实践结合。
【指点迷津】
在解题中将四边形、多边形转化为一些三角形，便可找到解决问题的突破口，要正确理解平行四边形的对角、对边、高，指出与三角形对角，对边的区别，高的区别。学过平行四边形判定方法后，凡是用平行四边形能证明的问题就不要再回到三角形全等去证明了，要培养学生接受新事物观点。防止旧知识对新知识的干扰。
二.学海导航
【精点题解】
例.已知：如图，平行四边形ABCD中，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，求：BE=DF
揭示思路：欲证线段相等，通常转化证三角形全等结合平行四边性质，找到证法一。
证法一：∵在平行四边形ABCD中，AB=DC，AB∥DC，

∴∠BAE=∠DCF
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠AEB=∠CFD=90°
在△ABE与△CDF中
AB=DC
∠BAE=∠DCF
∠AEB=∠CFD
∴△ABE≌△CDF
∴BE=DF
揭示思路：由题设发现S△ABC=S△ADC。便萌生计算三角形面积公式，便可得到证法：
证法二：在平行四边形ABCD中，S△ABC=S△CDA
∴AC·BE=AC·DF
∴BE=DF
这是一个非常普通的基本图形，由此能脱胎出不少新题目，得出新的情况，但上述原证法亦然是打开思路“向导”
变更题(一)
原题的已知条件和圆形不变，求证：

(1)AE=CF；(2)AF=CE；(3)∠ABE=∠CDF
(4)四边形BFDE为平行四边形(5)BD与EF互相平分。
变更题(二)
题设变化，如图，已知，平行四边形ABCD中，AE=CF以上各结论亦然成立。
本例所给出的图形是一个基本图形，必须把握住基本图形的特点和它的变形，才能攻克一道道难题，不少难题，只要认真分析，把图形分解，便可找到基本图形，以基本图形当“向导”，便可打开思路，因而，精解习题时，必须留心基本图形，掌握它的特点，才能更好地应用图形性质解题。
【思维扩散】

扩散思维是创造思维的重要特性，训练扩散思维，使问题想的宽、想的深、想的细。
例如图在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个三等分点，求证四边形BFDE是平行四边形
扩散1.准确的图形是证题的“向导”，它可把图形的各种关系及特点显露出来，观察图形，可发现四边形DEBF中，DE=BF，DF=BE，这就提醒我们证明两线段的相等，通常转化证明三角形全等，根据题设条件，设法证三角形全等即可。
∵ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AB∥BC，∠DAE=∠BCF
又E、F为AC的两个三等分点
∴AE=FC
在△AED和△CFB中
AD=BC
∠DAE=∠BCF
AE=FC
∴△AED≌△CFB
∴DE=BF
同理：BE=DF
∴四边形BFDE为平行四边形.(平行四边形判定定理2)
扩散2:
揭示思路：观察图形可直觉发现DE∥BF，BE∥DF，此时只要设法证明二直线平行即可，即证一组内错角、同位角相等，(同旁内角互补)。证两角等，又转化为证明三角形全等，可以仿扩散1可证得：
△AED≌△CFB
∴∠AED=∠CFB
∴∠DEF=180°－∠AED，∠BFE=180°－∠CFB
∴∠DEF=∠BFE
∴DE∥EF
同理可证：BE∥BF
∴四边形BFDE为平行四边形(平行四边形的定义)
扩散3：
揭示思路：(由题设告知ABCD为平行四边形，容易想起对角线互相平分，进而缺一条对角线，必须添设辅助线补上(连结BD)则OB=OD，只要证OE=OF，思路便畅通了。
连结BD交AC于点O
∵ABCD为平行四边形
∴OB=OD，OA=OC
∵E、F为AC的三等分点
∴AE=CF
∴OE=OA－AE，OF=OC－CF
∴OE=OF
∵OB=OD
∴四边形BFDE为平行四边形(平行四边形判定定理3)
扩散4
揭示思路：观察图形，直觉发现DEBF(或BEDF)，只要证明一组条件成立，问题便可解决，证明两线段相等与平行，又转化为证明两个三角形全等，即打开思路。
仿扩散1可证得△AED≌△CFB
则DE=BF，∠AED=∠CFB
再仿扩散2可证得DE∥BF

∴DEBF
∴四边形DEBF为平行四边形(平行四边形判定理4)

扩散5：将原题设中的三等分AC改为四等AC，其它条件都不变，原结论成立吗？回答是肯定的，原证法都适用吗？完全适用，留给读者探索。
扩散6：将原题中的三等分AC改为五等分AC，其它条件都不