江苏省海门中学2009届高三高考适应性考试（数学）.doc

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江苏省海门中学2009届高三高考适应性考试
数学试题（2009.5.29）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．若为实数，，则等于▲．
2．已知函数，，的零点依次为，则由小到大的顺序是▲．
3．已知，且在区间有最小值，无最大值，则▲．
4．已知等差数列满足：．若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为▲．
输出S
结束
输入
i←1
是
开始
S←S+
i←i+1
S←0
i≥8?
否
S←S÷8
第6题
5．当且仅当时，两圆与有公共点，
则的值为▲．
6．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示
的数据.
观测次数12345678观测数据4041434344464748在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图
(其中是这8个数据的平均数),则输出的S的值是▲．

7．在中，已知，且，则的值为▲．
8．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举一个例子．
甲：由“若三角形周长为l，面积为S,则其内切圆半径r=”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r=”；
乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a、b，则其外接圆半径r=”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r=”.这两位同学类比得出的结论正确的是▲．
9．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把名使用血清的人与另外名未
用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，
利用列联表计算得，经查对临界值表．
对此，四名同学做出了以下的判断：
p：有的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有的可能性得感冒
r：这种血清预防感冒的有效率为
s：这种血清预防感冒的有效率为
则下列命题中，真命题的序号是▲．（把你认为正确的命题序号都填上）
（1）p∧﹁q；（2）﹁p∧q；
(3)（﹁p∧﹁q）∧（r∨s）；（4）(p∨﹁r)∧(﹁q∨s)
10．已知二次函数的值域为，则的最小值为▲．
11．在正三棱锥中，、是、的中点，，若，则正三棱锥的体积为▲．
12．椭圆的一个焦点为F，点P在椭圆上，且（O为坐标原点）为等边三角形，则椭圆的离心率▲．
13．已知四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动
点，设，则的最大值等于▲．
14．已知可导函数的导函数，则当时，
（是自然对数的底数）大小关系为▲．

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分14分）
已知关于的一元二次函数
（Ⅰ）设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作
为和，求函数在区间[上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率.

16．（本题满分14分）
如图,在直三棱柱中,，分别是的中点，且.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求证：平面平面.

17．（本题满分15分）
如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两
面墙的夹角为60°（即），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于
6米），为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记，
问当为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？

18．（本题满分15分）
已知、为椭圆的左右顶点，为椭圆的右焦点，是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交直线于、两点，交轴于点．
（Ⅰ）当时，求直线的方程；
（Ⅱ）是否存在实数，使得以为直径的圆过点，若存在，求出实数的值；，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）对给定的值，求面积的最小值．

19．（本题满分16分）
设函数.
（Ⅰ）判断在区间上的增减性并证明之；
（Ⅱ）若不等式≤≤对恒成立,求实数的取值范围M；
（Ⅲ）设≤≤，且，求证：≥.

20．（本题满分16分）
（Ⅰ）已知函数.数列满足：，且,记数列的前n项和为，且.求数列的通项公式；并判断是否仍为数列中的项？若是，请证明；否则，说明理由.
（Ⅱ）设为首项是,公差的等差数列，求证：“数列中任意不同两项之和仍为数列中的项”的充要条件是“存在整数，使”.

江苏省海门中学2009届高三高考适应性考试
数学附加题
21．从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分
A．选修4—1几何证明选讲
如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，D是弧的中点，于E，AC与DE、BD分别