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高中数学研究性学习案例分析
研究性学习作为必修内容是普通高中新课程的一个亮点，倍受各方关注。本市2006年的春季、秋季高考都尝试把研究型的数学试题引进了试卷，取得了良好效果。然而，就目前高中数学教学的现状而言，研究性学习无疑是广大学生和教师面临的现实挑战,是一个内容资源亟待充实、教学方法亟待提高的弱项。进才中学张雪明结合自身教学实践，提出一些学习案例，期望能给读者一些参考。
背景与问题
在水平桌面上放一只内壁光滑的且近似抛物面形的玻璃水杯，取一些长短不一的细直金属棒随意丢入该水杯中,发现呈现如图所示的现象：
(1)猜想交汇点性质;
(2)结合猜想,根据物理学原理，对上述现象提出假说;
(3)将假说数学化;
(4)对假说的真假加以证明;
(5)自我评价以下探索过程.
现与探索
(1)焦点;
(2)假说：根据物体平衡的重心性质判断，当细棒长度不小于抛物线通径时，当且仅当细棒过抛物线焦点时它的中点到桌面距离最小；反之，当且仅当细棒平行于桌面时它的中点离桌面距离最小。
(3)数学化:已知抛物线方程是x2=2py,焦点是F，现有长度为定值a的抛物线的弦AB，AB中点为M。则当|AB|≥2p时，只要AB过F，M到x轴的距离最小；而当|AB|<2p时，只要AB与x轴平行，M到x轴的距离最小。
(4)证明：
方法一：如图，记A、B、M在准线上的射影分别是A1、B1、M1，因为总有|FA|+|FB|≥|AB|，所以2|MM1|=|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|≥|AB|=a，
即当AB过焦点时M到准线距离取得最小值,为|AB|的一半,此时M到x轴距离最小。不过这个方法只证明了AB长不小于2p时的情形。
方法二：令AB所在的直线方程是：y=kx+b,代入x2=2py得x2-2pkx-2pb=0，
如令A(x1,y1)、B(x2,y2)则有x1+x2=2pk,x1x2=-2pb。
所以由弦长公式可得：a2=|AB|2=(1+k2)[(2pk)2+8pb]，
上为增函数可知k=0时y1+y2最小(因而M到x轴距离最小)，此时AB平行x轴；
方法三：“物理”方法。
如图，
对于后一条件易证明弦恰过焦点，对于前一条件，当然是指弦与x轴平行了。
综上所述，当弦长不小于通径时，它过焦点时重心最低；当弦长小于通径时，它平行于x轴(这样的弦因为太"短"，不能够过焦点)时重心最低。从而根据物理学原理证明了原数学问题。
(5)上述探索的过程表明：“数理相通，数学与物理是人们从不同角度认识世界的两种表面迥异但内涵相同的东西。总之它们可以互相证明、变通。如本题，一旦理解了它的物理含义，则它其中隐含的东西就昭然若揭，思路明晰了。”
(此稿由新民晚报——东方网大力神超级高考讲座提供)
进才中学张雪明

高中数学新课程理念的教学实践
——对两节数学优质课的案例分析

1.案例背景
广东省高中数学课程改革已历时五年，其改革理念中有许多亮点，如教学理念倡导以学生为主体，教师为主导；如关于学习方式，倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。但在实践中，具体实施情况与原来构想确有相当大的差距，传统的讲授式教学依然占据统治地位，其根源在于新课程理念与高考升学压力以及传统的教学方式存在巨大而现实的矛盾。从知识的传输效率来看，完全的接受式在单位时间知识的传输效率明显高于自主探究式，但从学习的效益尤其是能力培养方面，新课程理念倡导的方式又具有明显优势。怎样解决理念与实践的矛盾呢，并使之成为教学常态呢？下面先看看两个教学案例的片段：
2.两个案例
案例1.在高一数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》中，教师引导学生复习了平面向量的数量积、向量的模、向量的夹角等概念后，强调了数量积定义的几何特征.
教师进而指出两个向量的和、差以及数乘可以通过坐标进行运算,既方便又简洁.以前研究了平面向量数量积的几何表示形式，那么对于向量的数量积还有哪些需进一步研究的问题呢？
生甲：向量可以用坐标表示，那么，能否用坐标表示数量积？
生乙：如果能够，怎样用、的坐标表示？
此时，教师板书本节课课题—平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，并作了进一步的铺垫，设，即，然后，由两名学生在黑板上板演，其他学生在演算本上同步演算，大约6分钟后得到结论=.在此基础上，学生通过进一步演算得到了模及夹角的坐标表示式.
案例2.高二数学《正弦定理》中，教师引导学生复习了直角三角形中三角函数的定义，在中，有，注意到,即可整理出.指出这是一个涉及三角形边、角关系的十分优美、和谐的关系式.
师：该式是在直角三角形情景推出的，下一步我们需研究什么问题？
生：上述结论在任意三角形中是否成立？
师：大家可以尝试一下！(并让一名学生在黑板上探索解决).
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