第7章 矩量法.ppt

第7章矩量法矩量法的数学处理过程可以采用加权余量法或定义泛函内积等方法展开R。F.Harrington对用矩量法求解电磁场问题作了全面和深入的分析，其经典著作已于1968年出版［1］。为从数学意义上，既能理解通常矩量法构造的数学基础，又能把握其他数值计算方法与之相关的内在联系，本书采用加权余量法的概念来说明矩量法。加权余量法（TheMethodofWeightedResiduals）的概念首先由S.H.Crandall［2］在1956年提出。他将由积分、微分方程离散化为矩阵方程（代数方程组）的方法，统一归结为加权余量法，由此构成各种近似计算方法统一的数学基础，并已在力学问题中得到广泛应用。7.2矩量法的数学基础——加权余量法则因近似解近似满足场方程，故把上式代入式（7-1a）必有误差存在，或称之为有余量，记作，即基于加权余量式（7-4），进行移项处理，便得这样，即展开成含n个未知数ui的n个方程。若用矩阵形式表示，则有至此，通过矩量法已将算子方程（7-1）转化为如式（7-7）或（7-8）所示的代数方程组。从而，在基函数｛N｝构造的基础上，进一步选定权函数｛W｝，就可计算出［l］和｛g｝中的各个元素，并由此解出待求函数u的离散解ui（i=1，2，…，n）。显然，原则上，只要增加所构造的基函数的项数n，将保证近似解收敛于精确解n。2）马克劳林级数xk。相应的待求函数可表示为函数图形如图7-1b所示，通常称之为脉冲函数。由此待求函数可展开为2）一维分段线性插值——三角形函数Ti（x）。如图7-2a所示，在函数u（x）的各个子区间内分别以通过相应样点的线性关系来逼近原函数的连续变化，即整体综合成全域的折线状分段连续逼近形态。这时，根据相邻两样点之间的函数线性变化关系，即近似函数函数图形如图7-2b所示，通常称之为三角形函数。这样，待求函数可展开为3）三角元剖分线性插值。对应于在平面域D内定义的待求函数u（x，y）的逼近，在第5章中，已经给出了常用的由三角元分片拼合、整体插值函数构造呈宝石般表面形态的近似方法。这时，所采用的基函数即是三节点三角元的形状函数和［式（5-35）］。于是，三角元中任意点的待求函数可展开成7.2.2权函数｛W｝的选取因而可知矩量法方程（7-8）中相应矩阵元素的计算结果为（2）伽辽金法（3）最小二乘法换句话说，最小二乘法的离散化计算模式可归结为以下的代数方程组：7.3点匹配法与典型算例显然，这是一个简单的边值问题，其解析解为这样，在给定权函数为狄拉克δ函数，即由上式可求得φ1=1/2，φ2=1/3。同样，按式（7-34）可得二级近似解为
，其结果全同于解析解［式（7-32）］。当n=3时，可再次得到解析解，对于n>3也是如此。由此表明，对于本问题由Ni的有限项（i=2）组合就能精确地表示其解答。3）计算带电体表面上各子块对应的元电荷在各匹配点Mj上产生的电位，并分别叠加，从而，由各匹配点Mj上的电位必须等于给定电位值φ（rb），即建立对应于式（7-40）的离散积分方程；例7-2带电导体棒的电场分布。沿z轴等间距分割导体为n段，得各离散场源点的坐标为按点匹配法计算模式，根据矩量法方程（7-8），基于上式即得由图7-5所示的坐标系和几何关系，不难导得，该单元段的面电荷σi与中心Mj处的电位Δφi，两者间应满足以下关系式：由此可展开方程（7-47）得在已知｛τ｝的基础上，基于第三章所述的数值积分法，就可以算出任意场点P（ρ，z）处的电位和场强为例7-3矩形带电导板的电场分布。对应于式（7-40），现与定解条件相联系的积分方程为式中，系数矩阵P的元素为由此可得7.4伽辽金有限元法在单元e的定义域De内，βe可看作常量，因此由于令式（7-66）左边第一项积分中，即得又因，故代入上式得式（7-67）中第二项按重心处取值求积，则得由此线积分便可变换为定积分关系，即综合以上讨论，在所有剖分单元应用式（7-67）所示关系式的处理基础上，将各单元对应的［K］e、｛P｝e和｛P′｝e予以扩展和累加，则由加权余量式（7-4），应满足