光栅衍射实验的误差分析及改进途径[1].doc

光栅衍射实验的误差分析及改进途径

摘要：平行光未能严格垂直人射光栅将形成误差，常用的对称测盘法只能消除误差的一阶修正项，仍存在二阶修正项误差。采用测t最小衍射角的方法能有效地消除一阶、二阶修正项的误差，而且能观测到更高级次的衍射条纹，从而减少读数误差，提高实验精度。
1光栅放置误差的理论分析
当平行光与光栅平面法线成a角斜入射时的光栅方程为

或
上两式中Φk，Φ'k的物理意义如下图所示。因此，如果光栅放置得不严格垂直于人射光，而实验测量时仍用公式(1)进行波长、分辨率等物理量的计算，将造成实验误差。不失一般性，就方程(2)考虑人射角θ对测量结果的影。

图1平行光斜入射光栅
将方程(2)展开并整理，得
（4）
与(1)式比较可知，由于人射角θ不等于零而产生了两项误差，如果θ很小，第一项tan
(Φk/2)sinθ≈tan(Φk/2)xθ可视为一阶小量，第二项2sin2θ/2≈θ2/2可视为二阶小量，为
方便计，称第一项为误差的一阶修正项，第二项为误差的二阶修正项。如果θ较大，则引起的误差不能忽略。进一步分析表明，在相同人射角θ的条件下，当衍射级次k增加时，
Φk增加，由于tanΦk是递增函数，因此一阶修正项增大，测量高级次的光谱会使实验误差
增大;而误差的二阶修正项与衍射级次k和衍射角Φk无关。
从测量理论来看，衍射级次k越高，衍射角Φk越大，估读Φk引起sinΦk的相对误差越小，因为△sinΦk/sinΦk=ctgΦk△Φk，而ctgΦk是递减函数。另外角色散率dΦk/dλ=tanΦk/λ因正比于tanΦk而增大;角分辨率因正比于衍射级次k而增加。因此测量高次的光谱非但不增大二阶修正项的相对误差，反而能减小其它物理量的测量误差，而误差的一级修正项则与此矛盾。
2减少误差的途径
如果能测出θ值代入(4)进行计算，理论上能对光栅放置不精确而引起的误差进行修正。但作为教学型实验，人射角θ的测量有一定难度，而且从测量理论上考虑，应尽可能减少直接测量量的数目。考虑到第一修正项系数为奇函数，因此可以用对称测量的方法来消除，这也是通常实验所采用的。为此将(2)式和(3)式相加并两边同除2，得

可见第一修正项已消除，但第二修正项仍然存在。如按对称测量方法，取左右两个衍射角的平均值，计算波长等物理量应该用公式(5)，而不能简单地把(Φk+Φ'k)当作Φk代人(1)式计算。
比如波长几的计算，若不计第二修正项，则有

因此，平行光不垂直入射引起波长测量的相对误差为

其相对误差完全由人射角θ决定，与衍射级次k和衍射角Φk无关，而且对不同光栅，第二修正项误差都一样。其误差随人射角θ改变的理论计算结果如图2所示。

图2光栅放置未能使平行光垂直入射引起的误差
我们在JJY型(测量精度为δ=1'，光栅常数d=1/300mm，待测光波长λ=589.3nm)分光计上进行了测量，测量结果以散点形式在图2上标出，测量误差与理论计算误差相一致。当人射角θ=2°时，理论计算误差为0.061%，实验测定误差为0.11%;人射角θ=4°时理论计算误差为0.24%，实验测定误差为0.26%；人射角θ=30°时，理论计算误差为15%，实验测定误差为14%；理论计算和实验测量结果都表明，当不垂直而偏离的角度较小时(θ<2°)，这部分误差较小而可以忽略；如果偏离角度大时，测量误差会显著增加。因此通常的对称测量方法并非是最佳的实验方案。
考虑(2)式，注意到衍射级次k和衍射角Φk与入射角θ有关，经过简单的数学证明可知，对于一定的衍射级次k，当θ=Φk/2时，dΦk/dθ=0，而且d2Φk/dθ2>0，因此存在一个最小衍射角Φkmin，此时光栅方程简化为

正如找三棱镜最小偏向角一样，可以通过实验方便地测量出这一最小衍射角。即首先把望远镜的十字叉丝对准某一衍射级次的谱线，转动载物台带动光栅作微小转动，在望远镜中可见到光谱线跟随着光栅转动而移动，由此可确定最小衍射角的截止位置，记下此时的读数Φ1，然后取走光栅，将望远镜对准平行光管，记下此时的读数Φ2，则Φkmin=|Φ2-Φ1|。与通常的测量方法一样，只需两次读数就能测出波长等物理量，而且消除了第一、第二修正项引起的误差。因此，测量光栅最小衍射角，由方程(8)进行波长、分辨率等物理量的计算，不仅消除了一阶、二阶修正项引起的误差，而且还有另外一个优点，即增加光栅的衍射级次k，如实验室常用光栅，用对称测量法一般只能观测到二级衍射条纹，采用最小衍射角法，则能方便地观则到四级衍射条纹，因而增加Φkmin值，减少读数引起的相对误差，从而有效地提高测量精度。

图3最小衍射的测量
3结束语
光栅衍射实验是测量精度比较高的普通物理实验，以波长测量为例，如果分光计的调整和光栅放置精确，则测量最大误差可由下式

进行估算。取分光计的仪器误差