应用微分方程与差分方程建立数学模型.ppt

第一部分应用微分方程建立数学模型第一节基础知识三、微分方程稳定性理论简介定义2：如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解都满足（2）判断平衡点是否稳定的两种常用方法：
间接法：利用定义2，即利用（3）式.
直接法：不求方程（1）的解，将在点处作泰勒展开，只取一次项，方程（1）近似为则关于平衡点是否稳定有如下结论：
若，则平衡点对于方程（4）和（1）都是稳定的；
若，则平衡点对于方程（4）和（1）都是不稳定的2、二阶方程的平衡点和稳定性定义4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解，都满足

（6）

则称平衡点是稳定的（或渐近稳定）；否则，称是不稳定的（或不渐近稳定）.为了用直接法讨论方程（5）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程组的一般形式为显然为系统的奇点，
记系统系数矩阵，
特征方程为
为了书写方便，令，
于是特征方程可写为
特征根为.下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究：2）3）这些结果可以全都反映在下列参数平面上从而，根据特征方程的系数、的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：对于一般的非线性方程（5），可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性：
设是方程在点作泰勒级数展开得在一般情况下用下面的定理：
定理1：对于非线性系统（5），若有
（即我们讨论的奇点是初等奇点，也就是线性系统的系统矩阵的特征值非零），且为系统（7）的结点（不包括退化结点及临界结点）、鞍点或焦点.又在的邻域连续可微，且满足第二节微分方程模型2、微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的．
这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子.
一、人口预测模型
由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（马尔萨斯（Malthus）人口模型或称指数增长模型）
英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解设时刻的人口为,把当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在到时间段内,人口的增长量为模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,
这样,,,于是但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.
例2（Logistic模型或称阻滞增长模型）
马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数（最大人口容量）,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而就越大）,并假设将增长率等于,即净增长率随着的增加而减小,当时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为

上式就是Logistic模型,该方程可分离变量,其解为

下面,我们对模型作一简要分析.（1）当,,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值；
（2）当时,,这说明是时间的单调递增函数；（3）由于,所以当时,,单增；当时,,单减,即人口增长率由增变减,在处最大,（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人