问题式教学思想及其数学案例解读.doc

第五节问题式教学思想及其数学案例解读

人类具有“问题解决”的天分，围绕“问题”和“问题解决”，人类有许多的特殊爱好，孩子从小就好问这问那，有时问得大人都挠头；人们还喜欢对问题的结论提出假设，有了一个答案还想找出其他的结论；人们还有预测自己行动结果的倾向，采用逻辑的推理作出决策；人们还常常借助自己的想像力想出创造性的问题解决方法，并由此产生新颖的成果或结论。“问题解决”是如此的普遍，它不仅是一个令人着迷的话题，甚至被某些专家称作“21世纪课程的基础”。
一、问题的内涵与要素
1、问题的意义
美国数学家哈尔莫斯指出:定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏。数学科学的起源和发展是由问题引起的。数学家之所以得以存在，其主要原因在于解决各种问题，故而真正构成数学的是问题和问题解决。我国秦汉时期的数学著作《周牌算经》和《九章算术》就是当时数学家解决应用问题成果的汇集。几何学萌芽于古埃及，也是从尼罗河流域的土地测量问题而产生的，并后来在古希腊发展起来的。
1900年，数学家希尔伯特在他的《数学问题》报告中，就深刻地阐述了问题对科学发展，特别是数学科学发展的重要意义。某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。数学问题是数学科学发展的动力。数学发展史证明，问题对数学科学的发展方向，以及数学观点、方法、思想的形成，都具有决定性的影响，离开问题，数学就不能发展。
由于数学思维就是解决数学问题的心智活动，思维过程中总是表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，因此数学问题是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。问题对思维具有定向作用，因此问题是探索活动中的路灯和灯塔。问题的聚焦作用，使主体的思维活动有了共同的目标，有了深入的交流，有了共同认可的价值，形成并发展为共同的观念。数学思维是数学活动中的思维，是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系的一般性认识。因此问题性是思维的本质属性，思维过程表现为提出问题和解决问题的过程。
2、问题的内涵
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学理论或方法才能解决的问题，称为数学问题。由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。
从学校教学的角度来看，概括而言，数学题是指数学上要求回答或解释的题目，需要研究或解决的矛盾。从初始状态到目标状态之间的障碍，现有水平与客观需要之间的矛盾，才是数学题的实质。传统的数学题具有接受性、封闭性和确定性的特征。学生通过对教材的简单模仿和操作练习，基本就能完成；其结构是常规的，答案确定，条件不多不少，可以按照现成的公式或常规的思路获得解决，主要目的在于巩固知识和训练技能。这类题目可以称为“练习题”（Exercise）。
作为“问题解决”的数学题，对“问题”提出了较高的要求。波利亚将问题理解为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。解决问题是寻找这种活动”。1988年第6届国际数学教育大会的一份报告指出：“一个（数学）问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的尚未解决的情境。”这类题目可以称为“问题”（Problem）。一般认为，问题应具备如下三个特征：（1）可接受性：学生具有解决问题的能力和心向；（2）障碍性：不能直接看出它的解法和答案；（3）探究性:不能按照现成的公式或常规的套路去解决。
3、问题的要素
心理学家们普遍认为，所有的问题都含有以下三个基本成分[1]：
（1）给定的条件。是指一组已经是明确知道的关于问题的条件的描述，即问题的起始状态。
（2）要达到的目标。是指关于构成问题的结论的明确的描述，即问题要求的答案或目标状态。
（3）存在的障碍。是指问题的解决方法不是显而易见的，必须间接地通过一定的思维活动，才能找到答案而达到目标状态。
任何一个“问题”，都是由这三个成分有机地结合在一起的。为此可以把“问题”定义为：给定信息和要达到的目标之间有某些障碍需要被克服的刺激情境。
也有的学者认为，问题作为一种认知情境