浅谈导数及应用毕业答辩论文样本.doc

浅谈导数及应用毕业答辩论文

甘肃联合大学学生毕业论文

题目：浅谈导数及应用

作者：贺耀武

指导教师：曹珂

数学与信息学院数学系
数学教育专业06级
三年制2班

2008年12月5日
主要内容简介:
导数概念是数学分析基本概念，是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野,是HYPERLINK"http://bbs.studa.com/"研究函数性质、证明不等式、求曲线的斜率问题和求函数的极值最值等问题的有力工具。本文就导数及应用，谈一点个人的感悟和体会。
首先，就导数的概念入手，依次讲述了导数的几何意义、可导与导函数及可导与连续的关系、求导数的方法、复合函数的导数和导数的运算等方面的内容。并举了大量的例题，其中一些例题方法新颖，可供读者参考。
其次，主要讲了导数的应用。导数在函数中应用，包括函数的单调性、极值最值的求法。用导数证明不等式的方法以及求曲线斜率的方法等。在每个应用后都附有相关例题加以说明。来突出导数应用的广泛性。
总之，运用导数可以使问题简单化，通过对本文的阅读读者会对导数有更深的了解与认识。

浅谈导数及应用

摘要：导数概念是数学分析基本概念，是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野,也是HYPERLINK""研究函数的性质、证明不等式、求曲线的斜率问题和求函数的极值最值等问题的有力工具。本文就导数的应用，谈一点个人的感悟和体会。
关键词：导数极限应用函数不等式
一、导数的概念及运算
1．导数的概念：设函数y=f(x)在处附近有定义，如果Δx→0时，Δy与Δx的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在Δx→0处的导数，记作
；
2．导数的几何意义：函数y=f(x)在处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率，即斜率为
过点P的切线方程为：.
3.导函数、可导：如果函数y=f(x)在开区间内的每点处都有导数，即对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间内可导.
4．可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续.
5.依定义求导数的方法：
（1）求函数的改变量
（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
6．几种常见函数的导数：
(C为常数)；()；；；；；；。
7．导数的四则运算法则：
；；
；
8．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且或=f′(u)′(x).
9.求导数的方法:
(1)求导公式(2)导数的四则运算法则
(3)复合函数的求导公式(4)导数定义

例1（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数
解：（1），
，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0
因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1
（2）

注：切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.
例2若f（x）在R上可导，（1）求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则为奇函数.
分析:（1）需求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数；
（2）求，然后判断其奇偶性.
（1）解:设f（－x）=g（x）,则
=
=
=－=－
∴f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数互为相反数.
（2）证明:=
=
=－=－
∴为奇函数.
注:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.
例3已知函数，数列的第一项，以后各项按照如下方式取定：曲线y＝在处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行（如图）。求证：当n时：
（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）
证明：（=1\*ROMANI）∵
∴曲线在处的切线斜率

∵过和两点的直线斜率是
∴.
（=2\*ROMANII）∵函数当时单调递增，
而，
∴，即
因此
又∵
令则
∵∴
因此故
例4.已知一个函数的图像过点P（0，2），并且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
解：（Ⅰ）由的图像经过P（0，2），知d=2，
所以,