附 拉氏变换与拉氏反变换.ppt

附：拉氏变换及拉氏反变换南昌大学机电学院可见这类微分方程的解无非是一些像：

之类的指数函数和正弦函数的组合。其中
时间特征量：
α、ω微分方程的系数有关；
幅值：
A、B、C初始条件和外部条件有关。
因此，出现了一种直接根据其系数和初始条
件求解微分方程的方法------拉氏变换法。
2、拉普拉斯变换的定义由原函数求象函数的变换称为拉普拉斯变换，
记为：
由象函数求原函数的变换称为拉普拉斯反变换，
记为：
即：

解释：a)拉氏变换是一种函数线性积分变换，对原
函数f(t)存在相应象函数F(s)与之对应；
例如：

可见拉氏变换可以将高等函数转换为初等函数。
正如对数运算可将运算等级降低一样，如
b)拉氏变换和拉氏反变换可以利用公式和图表简
化其运算，而不必求上述积分运算。
3、拉氏变换存在定理
若函数f(t)满足下列条件，
1）当t＜0时，f(t)=0；
2）f(t)是连续的或只有有限个极值点，并且能找
到适当的s=σ+jω值，使下述积分存在。

控制工程中常见的一些函数一般都能满足上述条件。
二、常用时间函数的拉氏变换3、正弦函数

而：4、余弦函数

而：5、t的幂函数

而：

常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换三、拉氏变换的主要运算定理2、微分定理推广：特别：则：

3、积分定理证明：推论：4、位移定理（复域位移定理）5、延迟定理（时域位移定理）对于右边第二式

这一定理表明，时间函数延迟，相当于其象函数
乘以时间因子。
例：求方波信号的拉氏变换。

由此可得单位脉冲信号的拉氏变换
单位脉冲信号的定义：δ函数是一抽象函数，可视为方波信号当的
一种极限。

6、初值定理
证明：由拉氏变换微分定理得：

利用此定理可由信号象函数求信号初值。
例如：7、终值定理

利用此定理可求信号的稳态值。
例如：求信号的稳态值。
拉氏变换的基本性质（1）四、拉普拉斯反变换2、由象函数求原函数的方法：下面分三种情况讨论部分分式展开法：
a)只含不相同的极点（一级极点）

所以，在已知极点的情况下，关键是求系数
求系数的方法：
Ⅰ、待定系数法；
Ⅱ、利用留数计算规则求解。利用留数计算规则Ⅰ：

即：

则：南昌大学机电学院南昌大学机电学院南昌大学机电学院南昌大学机电学院利用上式还不能进行拉氏反变换，必须依据拉氏变换公式将上式更改为：南昌大学机电学院南昌大学机电学院若令，则上式右边只剩下；
若对上式对s求一次导，并令，则上式右边只
剩下，
若对上式对s求二次导，并令，则上式右边只
剩下，

若对上式对s求次导，并令，则上式
右边只剩下。解：五、利用拉氏变换求解常系数微分方程南昌大学机电学院利用拉氏变换求解常系数微分方程方法
1°对微分方程进行拉氏变换，将其转换成拉氏域内输出的象函数的代数方程；
2°将代数方程分解成部分分式的形式，并对其进行拉氏反变换，可得微分方程的时域解。南昌大学机电学院