七、等价关系与等价类.ppt

3-10等价关系与等价类例：设I为整数集，R＝{<x,y>|x≡y(modk)}，
证明：R为I上的等价关系。例空集上的任何二元关系R都是等价关系，因为2.等价类例定义在整数集I上的关系R={<x,y>|x≡y(mod3)}，
则R是等价关系，并且有
[0]R={…,-6,-3,0,3,6,…}
[1]R={…,-5,-2,1,4,7,…}
[2]R={…,-4,-1,2,5,8,…}
[3]R={…,-6,-3,0,3,6,…}
[0]R=[3]R=[-3]R=…
[1]R=[4]R=[-2]R=…
[2]R=[5]R=[-1]R=…定理1设给定集合A上的等价关系R，对于a,b∈A
aRbiff[a]R=[b]R定理2*设R是集合A上的等价关系，则对于所有a,bA，或者
[a]R=[b]R或者[a]R∩[b]R=。3.商集：定理3集合A上的等价关系R，决定了商集A/R，可确定A
上的一个划分。定理4A上的任意一个划分，确定了A上的一个等价关系。解我们用如下方法产生一个等价关系R：
R1={1,2}×{1,2}={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
R2={3}×{3}={<3,3>}
R3={4,5}×{4,5}={<4,4>,<4,5>,<5,4>,<5,5>}
R=R1∪R2∪R3={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>,
<4,4>,<4,5>,<5,4>,<5,5>}
从R的序偶表示式中容易验证R是等价关系。证明必要性

充分性等价类的性质