中点法三角高程测量的分析.doc

全站仪中点法三角高程测量的分析

（南宁东测科技有限公司，广西南宁，530023）
[摘要]中点法即将全站仪架设于前后棱镜的中间，观测两点间的高程来进行高程传递的一种测量手段。本文阐述中点法三角高程在工程测量应用的可靠性和可行性。
[关键词]中点法；三角高程；精度分析；中误差
1、中点法三角高程测量的原理
1.1高差计算公式

如上图所示，为求得1、2两点的高差，将全站仪设于大致在中间的M点，则有
hM1=S1*cosθ1+EQ\F(1-k1,2R)(S1*sinθ1)2+i-v1(1)
hM2=S2*cosθ2+EQ\F(1-k2,2R)(S2*sinθ2)2+i-v2(2)
1点至2的高差为：
h12=hM2-hM1=S2*cosθ2-S1*cosθ1+EQ\F(1-k2,2R)(S2*sinθ2)2-EQ\F(1-k1,2R)(S1*sinθ1)2+v1-v2(3)
其中：
S为经气象改正后的斜距；θ为天顶距的观测值；v为觇标高；R为地球平均曲率半径，一般地区取6371000；k为大气折光系数。
由于观测条件基本相同，可认为其折光系数k1≈k2，令kA=kB=k，代入(3)得：
h12=S2*cosθ2-S1*cosθ1+EQ\F(1-k,2R){(S2*sinθ2)2-(S1*sinθ1)2}+v1-v2(4)
根据以上推导(4)可知，用中点法三角高差测量时，不需对中，也不必量仪器高。
1.2中误差的推导
对(4)进行全微分，令D1=S1*cosθ1、D2=S2*cosθ2，则
dh12=cosθ2dS2-cosθ1dS1+EQ\F(D1,ρ2)dθ1+EQ\F(D2,ρ2)dθ2+EQ\F(D22-D12,2R)dk+dv1-dv2(5)
根据误差传播定律，各观测量之间相互独立，而且观测的距离较短，则可近似认为mS12=mS22=m2s，天顶距的mθ12=mθ22=mθ2，镜高的mv12=mv22=mv2，由(5)可推得三角高程的中误差为：
mh=±EQ\r((cos2θ1+cos2θ2)mS2+EQ\F(D12+D22,ρ2)mθ2+EQ\F((D22-D12)2,4R2)mk2+2mv2)(6)
上式中：ms为测边中误差；mθ为天顶距观测中误差；mk为大气折光系数中误差；mv为镜高量取中误差；D为水平距离D=S*cosθ；ρ为弧度常数ρ=206265。
中点法三角高程应进行两次观测，则高差平均值的中误差为：
mh平均=EQ\F(EQmh,EQ\r(2))=±EQ\r(EQ\F(cos2θ1+cos2θ2,2)mS2+EQ\F(D12+D22,2ρ2)mθ2+EQ\F((D22-D12)2,8R2)mk2+mv2)(7)
2、中点法三角高程测量的精度分析
对于一般的2″级全站仪，ms=±4mm、mθ=±2″、mk=±0.05、mv=±1mm，取不同的平距D,D=D1+D2,以及不同的天顶距θ，分别取75°、80°、85°。按公式(7)计算不同条件的中误差，结果如下表：
平距之和D(m)前后视距差值(m)高差平均值中误差(mm)每公里高差中误差(mm/km)75°80°85°75°80°85°100801.271.151.074.023.643.38501.261.141.064.003.613.35201.261.141.053.983.593.3301.261.141.053.983.593.332001201.351.241.163.022.772.60801.331.221.142.982.722.55301.321.201.122.952.682.5101.321.201.122.942.682.504001501.611.521.462.552.402.30801.551.451.382.452.292.19301.521.421.362.412.252.1501.521.421.362.402.252.146001501.951.871.822.512.412.351001.871.791.742.422.312.25501.831.741.692.362.252.1801.811.731.682.342.232.168001802.412.352.312.702.632.581002.242.172.132.502.432.38502.172.112.062.432.352.31202.162.092.042.412.332.2902.152.082.042.412.332.2810002002.922.872.842.922.872.841202.682.622.592.682.622.598