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配方法应用举例
湖北省枣阳市吴店镇二中杜学兵邮政编码：441214

配方法是一种非常重要的数学方法，在解决数学问题上应用非常广泛、有效。下面结合实例对配方法的应用做以简单说明，以期对同学们有所帮助。
一、用配方法可以分解因式。
例1将x2+4x+3分解因式。
分析：在没有学过“十字相乘法”的情况下，采用配方法就非常方便了。
解：x2+4x+3=（x2+4x+4）-1=（x+2）2-1=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)
二、用配方法可以判定二次三项式值的正、负性。
例2求证无论x取何值，代数式2x2－6x+5的值恒大于零。
分析：同学们在没有学习二次函数之前，是无法解答的。若用配方法，这类问题就迎刃而解了。
解：这是因为2x2－6x+5=2(x2－3x)+5=2[(x2－3x+)－]+5=2(x－)2－+5=2(x－)2+＞0。
例3求证：无论ｙ为何值，－10y2+5y-4的值恒小于零。
解：这是因为－10y2+5y-4=-10（ｙ2－ｙ）-4=-10［(ｙ2－ｙ+)-)-4=-10(ｙ－)２－﹤０
三、用配方法可以求出二次三项式的最大值（或最小值）。
例４求当x取何值时，代数式2x-2x2-1的值最大？最大值是多少？
分析：这是一道关于二次函数极值的问题，用配方法解答此题显得更浅显易懂。
解：2x-2x2-1=-2（x2-x）-1=-2[(x2-x+)-]-1=-2(x-)2-；因为无论x取何值-2(x-)2≤0,所以-2(x-)2-≤-，当x=时，代数式2x-2x2-1的值最大,最大值是-。
例5代数式4y2+8y-7有最大值还是有最小值？
解：4y2+8y-7=4（y2+2y）-7=4[(y2+2y+1)-1]-7=4(y+1)2-11；因为4(y+1)2≥0，所以4(y+1)2-11≥-11，故当y=-1时，代数式4y2+8y-7有最小值，最小值是-11。
四、用配方法可以求出某些等式中字母的值。
例6已知a2+b2+c2+3=2(a+b+c)，求a3+b3+c3-3abc的值。
分析：可以将已知等式通过移项、配方，再根据几个非负数的和等于零，则这几个非负数均为零，求出式子中各字母的值。
解：由a2+b2+c2+3=2(a+b+c)，得(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0，(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0，则(a-1)2=0，(b-1)2=0，(c-1)2=0，所以a=b=c=1；故a3+b3+c3-3abc=0。
五、用配方法可以使某些求代数式的值更简便。
例7已知a=2009，b=2010，c=2011，求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值。
分析：若直接将a、b、c的值代入求值，计算非常繁琐。若将所给代数式先配方，再代入求值，则可使计算较为简便。
解：a2+b2+c2-ab-ac-bc
=(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)
=[(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)]
=[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]
当a=2009，b=2010，c=2011时，
原式=[(2009-2010)2+(2009-2011)2+(2010-2011)2]
=3
六、用配方法可以解一元二次方程。
例8解下列方程
(1)4x2-300x+1400=0(2)x2+17=8x
分析：用配方法解一元二次议程的步骤是：（1）把方程的常数项移到方程的右边去；（2）把二次项的系数化为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程变为(mx+n)2=p的形式；（4）当p≥0时，开平方求得方程的解；当p＜0时，原方程无实数解。
解：（1）移项，得4x2-300x=-1400，
二次项系数化为1，得x2-75x=-350，
配方，得x2-75x+=-350，
(x-)2=，
由此可得x-=±，
x1=5，x2=30.
(2)移项，得x2-8x=-17，
配方，得x2-8x+16=16-17,
(x-4)2=-1＜0
所以原方程无实数根。
七、用配方法可以求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
例9已知函数y=3x2-24x+21，
（1）该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x取何值时，y随x增大而增大？x取何值时,y随x增大而减小？
（3）当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最值；
（4）该函数图象可由y=3x2的图象怎样平移得到？
分析：可将该函数配方成y=a(x-h)2+k(a≠0,h,k是常数)的形式，再根据二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0,h,k是常数)的图象和性质解答。
解：由函数y=3x2-24x+21，得
y=3(x2-8x)+21=3[(x2-8x+16)-16]+21=3(x-4